確率質量関数

確率と統計において、確率質量関数（確率関数または頻度関数^{[1]と呼ばれることもある）は、}離散確率変数がある値と正確に等しい確率を与える関数である。 ^[2]離散確率密度関数 と呼ばれることもある。確率質量関数は、離散確率分布を定義する主な手段であることが多く、そのような関数は、定義域が離散であるスカラーまたは多変量確率変数に対して存在する。

確率質量関数は確率密度関数（PDF）とは異なり、後者は離散ランダム変数ではなく連続ランダム変数に関連付けられています。PDFは、確率を得るために区間にわたって積分する必要があります。 ^[3]

最大の確率質量を持つランダム変数の値はモードと呼ばれます。

確率質量関数は離散確率変数の確率分布であり 、可能な値とそれに関連する確率を提供します。これは次のように定義される 関数です。${\displaystyle p:\mathbb {R} \to [0,1]}$

については、^[3]は確率測度である。はと簡略化することもできる。^[4]${\displaystyle -\infty <x<\infty }$${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{X}(x)}$${\displaystyle p(x)}$

すべての（仮説的な）値に関連付けられた確率は非負で、合計が1になる必要があります。

$${\displaystyle \sum _{x}p_{X}(x)=1}$$そして$${\displaystyle p_{X}(x)\geq 0.}$$

確率を質量として考えると、すべての仮説的結果の合計確率と同様に物理的な質量が保存されるため、間違いを避けるのに役立ちます。 ${\displaystyle x}$

離散ランダム変数の確率質量関数は、 2 つのより一般的な測度理論的構成、すなわち計数測度に関するの分布との確率密度関数の特殊なケースとして考えることができます。以下ではこれをより明確に説明します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

が確率空間で 、が基礎となるσ-代数が離散的な測定可能な空間であると仮定します。したがって、 には特に の単独集合が含まれます。この設定では、ランダム変数は、その像が可算であれば離散的です。プッシュフォワード測度(この文脈では の分布と呼ばれます) は、 に対する確率測度であり、その単独集合への制限により、各 に対して であるため、(前のセクションで説明したように) 確率質量関数が誘導されます。 ${\displaystyle (A,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle (B,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X\colon A\to B}$ ${\displaystyle X_{*}(P)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f_{X}\colon B\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)}$${\displaystyle b\in B}$

ここで、 が計数測度 を備えた測度空間であると仮定する。 の計数測度に関する確率密度関数は、存在する場合、の（計数測度に関する）プッシュフォワード測度のラドン・ニコディム微分であるため、およびは から非負の実数への関数である。結果として、任意 の に対して、${\displaystyle (B,{\mathcal {B}},\mu )}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f=dX_{*}P/d\mu }$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle b\in B}$$${\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(b))=X_{*}(P)(b)=\int _{b}fd\mu =f(b),}$$

それが実際に確率質量関数であることを証明します。 ${\displaystyle f}$

潜在的な結果の間に自然な順序がある場合、それらに数値（または離散多変量ランダム変数の場合はn組）を割り当て、のイメージにない値も考慮すると便利な場合があります。つまり、図に示すように、 すべての実数に対して を定義でき、すべての に対して を定義できます。${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}}$${\displaystyle f_{X}(x)=0}$${\displaystyle x\notin X(S)}$

の像には、確率質量関数が 1 となる可算な部分集合があります。したがって、 の可算な数以外の値に対しては、確率質量関数は 0 になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle x}$

確率質量関数の不連続性は、離散ランダム変数の累積分布関数も不連続であるという事実に関連しています。が離散ランダム変数である場合、 は偶発イベントが確実である（発生の 100% が真である）ことを意味します。逆に、 は偶発イベントが常にあり得ないことを意味します。この記述は連続ランダム変数には当てはまりません。では、任意の可能な に対して となります。離散化は、連続ランダム変数を離散変数に変換するプロセスです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle P(X=x)=1}$${\displaystyle (X=x)}$${\displaystyle P(X=x)=0}$${\displaystyle (X=x)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle P(X=x)=0}$${\displaystyle x}$

関連する主要な分布としては、ベルヌーイ分布、二項分布、幾何分布の3 つがあります。

• ベルヌーイ分布: ber(p)は、2 つの結果しかあり得ない実験をモデル化するために使用されます。2 つの結果は、多くの場合、1 と 0 としてエンコードされます。ベルヌーイ分布の例としては、コインを投げることが挙げられます。が、公平なコインを 1 回投げたときのすべての結果のサンプル空間であり、 が、カテゴリ「裏」に 0、カテゴリ「表」に 1 を割り当てることで定義されるランダム変数であるとします。コインは公平であるため、確率質量関数は次のようになります。$${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}p,&{\text{if }}x{\text{ is 1}}\\1-p,&{\text{if }}x{\text{ is 0}}\end{cases}}}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x=0,\\{\frac {1}{2}},&x=1,\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}}$$
• 二項分布は、誰かが n 回抽出した場合の成功回数をモデル化します。各抽出または実験は独立しており、2 つの結果が考えられます。関連する確率関数は です。${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{nk}}$

  

  二項分布の例としては、公平なサイコロを 3 回振ったときに 6 が 1 つだけ出る確率が挙げられます。
• 幾何分布は、1 回の成功を得るために必要な試行回数を表します。その確率質量関数は です。${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$
  例として、最初の「表」が出るまでコインを投げることがあります。 は結果が「表」になる確率を示し、 は必要なコイン投げの回数を示します。${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$
  確率質量関数を使用してモデル化できる他の分布には、カテゴリ分布（一般化ベルヌーイ分布とも呼ばれる）と多項分布があります。
• 離散分布に 2 つ以上のカテゴリがあり、そのうちの 1 つが発生する可能性がある場合、これらのカテゴリに自然な順序があるかどうかに関係なく、試行 (抽選) が 1 回だけの場合、これはカテゴリ分布です。
• 多変量離散分布とその確率質量関数の一例は、多項分布によって提供されます。ここで、複数のランダム変数は、指定された回数の試行後の各カテゴリでの成功数であり、ゼロ以外の各確率質量は、さまざまなカテゴリでの成功数の特定の組み合わせの確率を示します。

次の指数関数的に減少する分布は、すべての正の整数である、可能性のある結果が無限にある分布の例です。可能性のある結果が無限にあるにもかかわらず、合計確率の質量は 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ = 1 となり、確率分布の単位合計確率の要件を満たしています。 $${\displaystyle {\text{Pr}}(X=i)={\frac {1}{2^{i}}}\qquad {\text{for }}i=1,2,3,\dots }$$

2 つ以上の離散ランダム変数には結合確率質量関数があり、ランダム変数の実現の可能な組み合わせの確率が与えられます。

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, A. (1993).単変量離散分布（第2版）. Wiley. p. 36. ISBN 0-471-54897-9。