Lモーメント

統計学において、L-モーメントは確率分布の形状を要約するために使用される一連の統計量です。^{[1] [2] [3] [4]}これらは、従来のモーメントに類似した順序統計量( L-統計量)の線形結合であり、標準偏差、歪度、尖度に類似した量を計算するために使用でき、それぞれ L スケール、L-歪度、L-尖度と呼ばれます (L-平均は従来の平均と同じ)。標準化 L-モーメントはL-モーメント比と呼ばれ、標準化モーメントに類似しています。従来のモーメントと同様に、理論的な分布には母集団 L-モーメントのセットがあります。標本 L-モーメントは母集団からの標本に対して定義でき、母集団 L-モーメントの推定値として使用できます。

確率変数Xに対して、r番目の母集団Lモーメントは^[1]

${\displaystyle \lambda _{r}={\frac {\ 1\ }{r}}\sum _{k=0}^{r-1}(-1)^{k}{\binom {r-1}{k}}\operatorname {\mathbb {E} } \{\ X_{rk:r}\ \}\ ,}$

ここで、X _k:nは 、 Xの分布から独立なn個の標本におけるk番目の順序統計量（k番目に小さい値）を表し、期待値演算子を表す。特に、最初の4つの母集団Lモーメントは、 ${\displaystyle \\mathbb{E}\}$

${\displaystyle \lambda _{1}=\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X\ \}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\ 1\ }{2}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:2}\ \}-\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:2}\ \}\ {\Bigr )}}$

${\displaystyle \lambda _{3}={\frac {\ 1\ }{3}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{3:3}\ \}-2\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:3}\ \}+\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:3}\ \}\ {\Bigr )}}$

${\displaystyle \lambda _{4}={\frac {\ 1\ }{4}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{4:4}\ \}-3\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{3:4}\ \}+3\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:4}\ \}-\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:4}\ \}\ {\Bigr )}~.}$

r次の L モーメントの係数は、 r次有限差分(導関数の有限アナログ) で使用される二項変換のr番目の項と同じであることに注意してください。

これらの L モーメントの最初の 2 つには、慣例的な名前が付けられています。

${\displaystyle \ \lambda _{1}\ }$「平均」、「L平均」、または「L位置」です。

${\displaystyle \ \lambda _{2}\ }$「Lスケール」です。

Lスケールは平均絶対差の半分に等しい。^[5]

サンプルのLモーメントは、サンプルのr要素のサブセットを合計し、二項係数で割って平均することで、サンプルの母集団のLモーメントとして計算できます。 ${\displaystyle \left\{x_{1}\cdots <x_{j}\cdots <x_{r}\right\},}$

${\displaystyle \lambda _{r}={\frac {1}{\ r\cdot {\tbinom {n}{r}}\ }}\ \sum _{x_{1}<\cdots <x_{j}<\cdots <x_{r}}\ (-1)^{r-j}{\binom {r-1}{j}}\ x_{j}~.}$

これらを順序統計量でグループ化すると、 n 要素のサンプルの要素がr要素のサブセットのj番目の要素になる方法の数を数え、以下の形式の式が得られます。n個 の観測値の有限サンプルの最初の4つのLモーメントの直接推定値は次の とおりです。^[6]

${\displaystyle \ell _{1}={\frac {1}{\ {\tbinom {n}{1}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ x_{(i)}\ }$

${\displaystyle \ell _{2}={\frac {1}{\ 2\cdot {\tbinom {n}{2}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl [}\ {\tbinom {i-1}{1}}-{\tbinom {n-i}{1}}\ {\Bigr ]}\ x_{(i)}\ }$

${\displaystyle \ell _{3}={\frac {1}{\ 3\cdot {\tbinom {n}{3}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl [}\ {\tbinom {i-1}{2}}-2{\tbinom {i-1}{1}}{\tbinom {n-i}{1}}+{\tbinom {n-i}{2}}\ {\Bigr ]}\ x_{(i)}\ }$

${\displaystyle \ell _{4}={\frac {1}{\ 4\cdot {\tbinom {n}{4}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl [}\ {\tbinom {i-1}{3}}-3{\tbinom {i-1}{2}}{\tbinom {n-i}{1}}+3{\tbinom {i-1}{1}}{\tbinom {n-i}{2}}-{\tbinom {n-i}{3}}\ {\Bigr ]}\ x_{(i)}\ }$

ここで、x _{( i )は}i番目の順序統計量であり、二項係数である。サンプルLモーメントは、確率加重モーメントの観点から間接的に定義することもでき、^{[1] [7] [8]} 、これにより、より効率的な計算アルゴリズムが得られる。 ^{[6] [9]}${\displaystyle \ {\tbinom {\boldsymbol {\cdot }}{\boldsymbol {\cdot }}}\ }$

Lモーメント比、またはスケールされたLモーメント の集合は次のように定義される。

${\displaystyle \tau _{r}=\lambda _{r}/\lambda _{2},\qquad r=3,4,\dots ~.}$

これらの中で最も有用なのは、 L-歪度とL-尖度と呼ばれます。 ${\displaystyle \ \tau _{3}\ ,}$${\displaystyle \ \tau _{4}\ ,}$

L-モーメント比は、区間( −1, 1 )内にあります。特定の L-モーメント比については、より狭い境界が見つかります。特に、L-尖度は[ ⁠− ${\displaystyle \ \tau _{4}\ }$ + 1 /4⁠、1 )、および

${\displaystyle \ {\tfrac {\ 1\ }{4}}\left(\ 5\ \tau _{3}^{2}-1\ \right)\leq \tau _{4}<1~.}$^[1]

変動係数に類似した量だが、Lモーメントに基づく量も定義できる。 これは「L変動係数」または「L-CV」と呼ばれる。非負のランダム変数の場合、これは区間（0、1） ^{[1]にあり、}ジニ係数と同一である。^[10]${\displaystyle \ \tau =\lambda _{2}/\lambda _{1}\ ,}$  

Lモーメントは、 以前（1979年）に定義された確率加重モーメント^{[11] （PWM）から導出される統計量です。 [7] PWMは、}ガンベル分布、^[8]テューキーラムダ分布、ウェイクビー分布などの逆形式で表現できる分布のパラメータを効率的に推定するために使用されます。

L モーメントが使用される一般的な方法は 2 つあり、どちらの場合も従来のモーメントと同様です。

1. データの要約統計として。
2. 従来のモーメントではなくLモーメントにモーメント法を適用して、確率分布のパラメータの推定値を導出します。

標準モーメントを使用してこれらを行うほかに、後者 (推定) は最大尤度法を使用して行うのが一般的ですが、L モーメントを使用すると多くの利点があります。具体的には、L モーメントは従来のモーメントよりも堅牢であり、より高い L モーメントが存在するためには、ランダム変数が有限の平均を持つことだけが必要です。推定における L モーメント比の 1 つの欠点は、通常、感度が小さいことです。たとえば、ラプラス分布は尖度が 6 で、指数の裾が弱いですが、4 番目の L モーメント比は、無限の尖度とはるかに重い裾を持つ df=3 のスチューデント t 分布などよりも大きくなります。

例として、いくつかのデータ ポイントと 1 つの外れ値のデータ セットを考えてみましょう。このデータ セットの通常の標準偏差を採用すると、この 1 つのポイントの影響を大きく受けますが、L スケールを採用すると、このデータ値の影響をはるかに受けにくくなります。したがって、データ内の外れ値を処理する場合、従来のモーメントよりも L モーメントの方がはるかに意味があります。ただし、モーメントを L モーメントに置き換えるだけでなく、さらに高い堅牢性を実現するためのより適した方法もいくつかあります。その一例が、極値理論 (EVT) で L モーメントを要約統計として使用することです。このアプリケーションは、L モーメントの堅牢性が限られていることを示しています。つまり、L 統計は、単一の極値によって狂う可能性があるため、耐性のある統計ではありませんが、線形であるため (高次統計ではないため)、従来のモーメントよりも極値の影響を受けません。

Lモーメントが従来のモーメントに対して持つもう1つの利点は、その存在にはランダム変数が有限の平均を持つことだけが必要であるため、より高い従来のモーメントが存在しない場合でもLモーメントが存在することです（たとえば、自由度の低いスチューデントのt分布の場合）。Lモーメントの推定値の標準誤差が有限であるためには、さらに有限の分散が必要です。^[1]

統計文献におけるLモーメントの登場例としては、David & Nagaraja (2003, Section 9.9) ^[12]や多数の論文が挙げられる。^{[10] [13] [14] [15] [16] [17]} Lモーメントと通常のモーメントの好ましい比較が数多く報告されている。^{[18] [19]}

下の表は、一定の L モーメント比を持ついくつかの一般的な連続確率分布について、最初の 2 つの L モーメントの式と最初の 2 つの L モーメント比の数値を示しています。 ^{[1] [5]}対数正規分布、ガンマ分布、一般化パレート分布、一般化極値分布、一般化ロジスティック分布 など、1 つ以上の分布パラメータによって L モーメント比が変化するいくつかの分布については、より複雑な式が導出されています。^[1]

各分布のパラメータの表記は、リンク先の記事で使用されているものと同じです。ガンベル分布の平均の式では、γ _eはオイラー・マスケロニ定数0.5772 1566 4901 ...です。

トリムLモーメントは、極端な観測値にゼロの重みを与えるLモーメントの一般化である。したがって、外れ値の存在に対してより堅牢であり、Lモーメントとは異なり、平均が存在しない分布、例えばコーシー分布に対して明確に定義される可能性がある。^[20]

• L推定値

• L-moments ページ Jonathan RM Hosking、IBM リサーチ
• L モーメント。データプロットリファレンスマニュアル、第 1 巻、補助章。米国国立標準技術研究所、2006 年。2010 年 5 月 25 日にアクセス。
• Lmo 軽量 Python には、L モーメント、トリムされた L モーメント、および多変量 L モーメントを高速に計算するための関数が含まれています。