レイズドコサイン分布

レイズドコサイン

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \mu \,}$（本物） ${\displaystyle s>0\,}$（本物）
サポート	${\displaystyle x\in [\mu -s,\mu +s]\,}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$
平均	${\displaystyle \mu \,}$
中央値	${\displaystyle \mu \,}$
モード	${\displaystyle \mu \,}$
分散	${\displaystyle s^{2}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\right)\,}$
歪度	${\displaystyle 0\,}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {6(90-\pi ^{4})}{5(\pi ^{2}-6)^{2}}}=-0.59376\ldots \,}$
MGF の	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sinh(st)}{st(\pi ^{2}+s^{2}t^{2})}}\,e^{\mu t }}$
CF	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sin(st)}{st(\pi ^{2}-s^{2}t^{2})}}\,e^{i\mu t}}$

確率論と統計学において、レイズドコサイン分布は区間 でサポートされる連続確率分布 である。確率密度関数(PDF) は ${\displaystyle [\mu -s,\mu +s]}$

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right){\text{ }}\mu -s\leq x\leq \mu +s の場合}$

それ以外の場合はゼロとなる。累積分布関数（CDF）は

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$

については、についてはゼロ、については 1 です。 ${\displaystyle \mu -s\leq x\leq \mu +s}$${\displaystyle x<\mu -s}$${\displaystyle x>\mu +s}$

レイズド コサイン分布のモーメントは、一般にはやや複雑ですが、標準レイズド コサイン分布の場合は大幅に単純化されます。標準レイズド コサイン分布は、および を伴うレイズド コサイン分布です。標準レイズド コサイン分布は偶関数であるため、奇モーメントはゼロです。偶モーメントは次のように与えられます。 ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle s=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (x^{2n})&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,dx=\int _{-1}^{1}x^{2n}\operatorname {hvc} (x\pi )\,dx\\[5pt]&={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{1+2n}}\,_{1}F_{2}\left(n+{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n+{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)\end{aligned}}}$

ここで は一般化超幾何関数です。 ${\displaystyle \,_{1}F_{2}}$

• ハン関数
• ハベルコシン（HVC）

• Horst Rinne (2010)。「位置スケール分布 - MATLAB を使用した線形推定と確率プロット」(PDF) p. 116 。2012 年 11 月 16 日閲覧。