コニフォールド

数学と弦理論において、円錐体は多様体の一般化です。多様体とは異なり、円錐体は円錐特異点、つまり特定の基底上の円錐のように見える近傍を持つ点を含むことができます。物理学、特に弦理論のフラックスコンパクト化では、通常、基底は5次元の実多様体です。これは、通常考慮される円錐体は複素3次元（実6次元）空間であるためです。

円錐体は弦理論において重要な対象です。ブライアン・グリーンは著書『エレガントな宇宙』の第 13 章で円錐体の物理について説明しています。円錐体の近くで空間が裂け、その位相が変化する可能性があるという事実も含まれています。この可能性は、Candelas ら (1988) によって初めて指摘され、Green & Hübsch (1988) によって採用され、弦理論において円錐体が (当時) 知られているすべての Calabi-Yau コンパクト化間の接続を提供することを証明しました。これは、Reid (1987) の、円錐体がすべての可能な Cal​​abi-Yau 複素 3 次元空間を接続するという予想を部分的に裏付けています。

円錐体のよく知られた例は、五次方程式の変形極限、つまり射影空間 における五次超曲面として得られます。この空間は複素次元が 4 であるため、五次方程式 (次数 5) によって定義される空間です。 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$

${\displaystyle z_{1}^{5}+z_{2}^{5}+z_{3}^{5}+z_{4}^{5}+z_{5}^{5}-5\ psi z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}z_{5}=0}$

上の同次座標に関して、任意の固定された複素数 に対して、 は複素次元 3 を持ちます。この 5 次超曲面の族は、カラビ・ヤウ多様体の最も有名な例です。複素構造パラメータが 1 に等しくなるように選択されると、上記の多様体は特異になります。これは、方程式の5 次多項式の導関数が、すべての座標が等しいか、それらの比が1 の特定の 5 乗根であるときにゼロになるためです。この特異点の近傍は、底面が位相的に正しい円錐のように見えます。 ${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle S^{2}\times S^{3}}$

弦理論の文脈では、幾何学的に特異な円錐体は弦の完全に滑らかな物理現象につながることが示されます。発散は、タイプIIB弦理論では収縮する3球面上に巻き付けられたD3ブレーンによって、タイプIIA弦理論では収縮する2球面上に巻き付けられたD2ブレーンによって「塗りつぶされ」ます。これは、Strominger (1995)によって最初に指摘されたとおりです。Greene、Morrison、Strominger (1995)によって示されたように、これは、Candelas、Green、Hübsch (1990)によって最初に説明された円錐体遷移を介したトポロジー変化の弦理論的な説明を提供します。彼らはまた、「円錐体」という用語と図を発明しました。

目的のために。円錐体を滑らかにする 2 つの位相的に異なる方法は、特異な頂点 (ノード) を 3 球面 (複雑な構造を変形することによって) または 2 球面 (「小さな解像度」によって) に置き換えることであることが示されています。ほぼすべてのカラビ ヤウ多様体は、これらの「臨界遷移」を介して接続できると考えられており、これはリードの予想と一致しています。

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• グリーン、ブライアン（2003）『エレガントな宇宙』、WWノートン社、ISBN 0-393-05858-1
• ヒュブシュ、トリスタン「コニフォールドと『（現実世界の）ウェブ』」（2009 年）、「コニフォールドと『（現実世界の）ウェブ』」（2022 年）