小角近似

角度が小さい場合、三角関数の正弦、余弦、正接は、次の簡単な近似によって妥当な精度で計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \tan \theta \approx \theta ,\\[5mu]\cos \theta &\approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}\approx 1,\end{aligned}}}$

ただし、角度はラジアンで測定されます。度で測定された角度は、まず⁠ ⁠${\displaystyle \pi /180}$を掛けてラジアンに変換する必要があります。

これらの近似は、力学、電磁気学、光学、地図作成、天文学、コンピュータサイエンスなど、物理学や工学の分野で幅広く使用されています。^{[1] [2]}その理由の1つは、絶対的な精度で答える必要のない 微分方程式を大幅に簡素化できることです。

小角近似の妥当性を証明する方法はいくつかある。最も直接的な方法は、各三角関数のマクローリン級数を切断することである。近似の次数に応じて、はまたは として近似される。^[3]${\displaystyle \textstyle \cos \theta }$${\displaystyle 1}$${\textstyle 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$

近似値の精度は、以下の図 1 と図 2 に示されています。角度の測定値がゼロに近づくにつれて、近似値と元の関数の差も 0 に近づきます。

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  図 1.基本的な奇数三角関数とθの比較。角度が 0 に近づくにつれて近似値が良くなることがわかります。
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  図2. cos θと1 − ⁠の比較θ ²/2⁠。角度が 0 に近づくにつれて近似値が良くなることがわかります。

右側の赤い部分dは、斜辺Hと隣接する辺Aの長さの差です。図に示すように、HとA はほぼ同じ長さであり、cos θが 1 に近く、⁠θ ²/2⁠赤みを抑えるのに役立ちます。 $${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$$

反対側の辺Oは、青い円弧sの長さとほぼ等しい。幾何学から事実をまとめると、s = Aθ、三角法からsin θ = ⁠お/H⁠そしてtan θ = ⁠お/あ⁠、図から、 O ≈ sおよびH ≈ A は次のようになります。 $${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$

葉を簡素化し、 $${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

スクイーズ定理^[4]を用いると、θの値が小さい場合の近似を正式に言い換えたものであることが証明できます 。 $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$$${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$

スクイーズ定理をより注意深く適用すると、θの値が小さい場合に となることが証明されます。 $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$$${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }$

最後に、ロピタルの法則によれば、θの値が小さい場合、は に変形されます。 あるいは、 2 倍角の公式を使用することもできます。 とすると、 が得られます。 $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}$${\displaystyle \theta =2A}$${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

三角関数の正弦、余弦、正接のゼロ付近でのテイラー級数展開は次の通りである。[ ^5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}+{\frac {1}{120}}\theta ^{5}-\cdots ,\\[6mu]\cos \theta &=1-{\frac {1}{2}}{\theta ^{2}}+{\frac {1}{24}}\theta ^{4}-\cdots ,\\[6mu]\tan \theta &=\theta +{\frac {1}{3}}\theta ^{3}+{\frac {2}{15}}\theta ^{5}+\cdots .\end{aligned}}}$$

ここで、⁠ ⁠ は${\displaystyle \theta }$ラジアン単位の角度です。非常に小さな角度の場合、⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$の高次の累乗は極めて小さくなります。たとえば、⁠ ⁠${\displaystyle \theta =0.01}$の場合、⁠ ⁠は${\displaystyle \theta ^{3}=0.000\,001}$⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$の 10,000 分の 1 になります。したがって、多くの目的では、3 次以上の項を削除し、小さな角度のサインとタンジェントを角度のラジアン単位⁠ ⁠を使用して近似し、2 次項を削除してコサインを${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta }$⁠ ⁠${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$として近似すれば十分です。

追加の精度が必要な場合は、2次項と3次項も含めることができます（ ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \theta \approx \theta -{\tfrac {1}{6}}\theta ^{3}}$、 ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$、 ⁠ ⁠ ）${\displaystyle \tan \theta \approx \theta +{\tfrac {1}{3}}\theta ^{3}}$。

定義によりおよび を満たす、の形式の数として定義される双対数 を使用することもできます。余弦および正弦のマクローリン級数を使用することで、 およびであることを示すことができます。さらに、ピタゴラスの定理が成り立つことを証明するのは難しくありません。${\displaystyle a+b\varepsilon }$${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$${\displaystyle \cos(\theta \varepsilon )=1}$${\displaystyle \sin(\theta \varepsilon )=\theta \varepsilon }$$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta \varepsilon )+\cos ^{2}(\theta \varepsilon )=(\theta \varepsilon )^{2}+1^{2}=\theta ^{2}\varepsilon ^{2}+1=\theta ^{2}\cdot 0+1=1}$$

ゼロ付近では、近似値⁠ ⁠、⁠ ⁠、および⁠ ⁠の相対誤差は⁠ ⁠の 2 次式です。つまり、角度が 1 桁小さくなるごとに、これらの近似値の相対誤差は 2 桁ずつ縮小します。近似値の相対誤差は⁠ ⁠の4 次式です。つまり、角度が 1 桁小さくなるごとに、相対誤差は 4 桁ずつ縮小します。 ${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$${\displaystyle \tan \theta \approx \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \textstyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$${\displaystyle \theta }$

図3は小角度近似値の相対誤差を示しています。相対誤差が1%を超える角度は次のとおりです。

• ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$約0.14ラジアン（8.1°）
• ⁠ ⁠${\displaystyle \tan \theta \approx \theta }$約0.17ラジアン（9.9°）
• ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$約0.24ラジアン（14.0°）
• ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$約0.66ラジアン（37.9°）

角度の加減定理は、角度の 1 つが小さい場合 ( β ≈ 0)、次のように簡略化されます。

天文学では、遠くの物体の像がなす角度の大きさは、ほんの数秒角（記号「」で示される）であることが多いため、小角近似に適しています。^[6]線の大きさ（D）は、角度の大きさ（X）と観測者からの距離（d）に次の簡単な式で関連しています。

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265{''}}}}$

ここで、X は秒角単位で測定されます。

数量206 265 ″は、円の弧秒数とほぼ等しい（1 296 000 ″）、を2πで割った値、つまり 1 ラジアンあたりの秒数です。

正確な式は

${\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000{''}}}\right)}$

そして、 tan X をXに置き換えると、上記の近似式が成り立ちます。

2 次余弦近似は、振り子の位置エネルギーを計算する際に特に役立ち、その後、ラグランジアンとともに適用して間接(エネルギー) 運動方程式を見つけることができます。

単振り子の周期を計算する場合、正弦波の小角近似を使用して、結果として得られる微分方程式を単振動を記述する微分方程式と比較して簡単に解くことができます。

光学では、小角近似が近軸近似の基礎を形成します。

正弦および正接の小角近似は、二重スリット実験または回折格子に関連して、次のような簡略化された方程式を作成するために使用されます。ここで、yは最大光強度の中心からの縞の距離、mは縞の次数、Dはスリットと投影スクリーン間の距離、dはスリット間の距離です。^[7]$${\displaystyle y\approx {\frac {m\lambda D}{d}}}$$

小角近似は構造力学、特に安定性と分岐解析（主に軸方向に荷重がかかって座屈する準備ができている柱）にも使用されます。これにより、精度と真の動作に関する洞察が犠牲になりますが、大幅な簡素化が実現します。

航空航法で使用される1 対 60 のルールは、小角度の近似と、1 ラジアンが約 60 度であるという事実に基づいています。

小さな角度を含む加算と減算の公式は、三角関数の表の値 間の補間に使用できます。

例: sin(0.755) の場合、sin(0.75) と cos(0.75) の値は三角関数表から取得されます。結果は指定された 4 桁の精度になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}}$$

• 細い三角形
• ヴェルシーヌ
• エクセカント