卵形（射影幾何学）

射影幾何学において、卵形は次元d ≥ 3の射影空間内の球状の点集合（面）です。実射影空間における簡単な例としては、超球面（二次曲面）があります。卵形の基本的な幾何学的特性は次のとおりです。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

1. 任意の直線は最大2点で交差し、${\displaystyle {\mathcal {O}}}$
2. ある点の接線は超平面を覆う（それ以上のものは何もない）、そして
3. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$行が含まれていません。

特性 2) は退化したケース (円錐など) を除外します。特性 3) は線織面 (一枚の双曲面など) を除外します。

卵形は、射影平面における 楕円の空間的な類似物です。

卵形は二次集合の特殊なタイプです。

卵形は、メビウス平面や高次元メビウス幾何学 の例を構築する上で重要な役割を果たします。

• 次元d ≥ 3の射影空間において、点の集合は卵形と呼ばれる。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

（１）任意の直線ｇは最大２点で交わる。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

の場合、線分 が接線 である場合、線分 は通過線（または外線）と呼ばれます。 線分 が割線である場合、線分 は通過線（または外線）と呼ばれます。${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=0}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=1}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=2}$

（２）任意の点において、Pを通る接線は超平面、接超平面（すなわち、次元d −1の射影部分空間）を覆う。${\displaystyle P\in {\mathcal {O}}}$

（３）線が入らない。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

超平面断面の観点から見ると、卵形はむしろ均質な物体である。なぜなら

• 卵形と、 の少なくとも 2 つの点を含む超平面 の場合、その部分集合は超平面 内の卵形 ( d = 3の場合は楕円) になります。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \varepsilon \cap {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \epsilon }$

次元d≥3の有限射影空間（つまり点集合は有限、空間はパッピアン^[1] ）の場合、次の結果が成り立ちます。

• が次元d ≥ 3の有限射影空間内の卵形である場合、d = 3です。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

（有限の場合、卵形は3次元空間にのみ存在する。）^[2]

• 位数n >2（つまり、任意の直線にはちょうどn + 1個の点が含まれる）かつ次元d = 3の有限射影空間において、任意の点集合が卵形となるのは、3つの点が同一線上（共通直線上）にない場合のみである。 ^[3]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle |{\mathcal {O}}|=n^{2}+1}$

卵形の定義にある「射影的」という単語を「アフィン」に置き換えると、アフィン卵形の定義が得られます。

（射影的）卵形に対して、それと交差しない適切な超平面が存在する場合、この超平面を無限遠の超平面と呼ぶことができ、卵形は に対応するアフィン空間内のアフィン卵形になります。また、任意のアフィン卵形は、アフィン空間の射影閉包（無限遠の超平面を追加）内の射影卵形と見なすことができます。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{(x_{1},...,x_{d})\in {\mathbb {R} }^{d}\;|\;x_{1}^{2}+\cdots +x_{d}^{2}=1\}\ ,}$（超球体）
2. ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{(x_{1},...,x_{d})\in {\mathbb {R} }^{d}\;|x_{d}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{d-1}^{2}\;\}\;\cup \;\{{\text{x_{d}{\text{-軸の無限遠点}}\}}$

これら 2 つの例は2 次曲線であり、射影的に同値です。

二次曲面ではない簡単な例は、次の構成によって得られます。

(a) 超球面の半分を適切な超楕円体に滑らかに接着します。

(b) 最初の2つの例で、式x ₁ ^2をx ₁ ⁴に置き換えます。

注意:実数の例は複素数の場合 ( 上の射影空間) に変換できません。次元d ≥ 3の複素射影空間には卵形二次曲面は存在しません。その場合、非退化二次曲面には直線が含まれるためです。 ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$

しかし、次の方法により、多くの非二次卵形が保証されます。

• 任意の非有限射影空間に対して、卵形の存在は超限帰納法を用いて証明できる。^{[4] [5]}

• 特性≠2の体K上の次元d = 3の有限射影空間内の任意の卵形は二次曲面である。^[6]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

最後の結果は、次の非二次関数の例のため、偶数特性に拡張できません。

• 奇数と自己同型性について${\displaystyle K=GF(2^{m}),\;m}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle x\mapsto x^{(2^{\frac {m+1}{2}})}\;,}$

ポイントセット

${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{(x,y,z)\in K^{3}\;|\;z=xy+x^{2}x^{\sigma }+y^{\sigma }\}\;\cup \;\{{\text{z軸の無限大点}}\}}$は、 K上の 3 次元射影空間(非同次座標で表される) 内の卵形です。

m = 1のときのみ、卵形は二次曲面となる。^[7]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}}$シッポウソウ卵形と呼ばれます。

卵形二次曲面には多くの対称性があります。特に:

• を次元d ≥ 3の射影空間と超平面内の卵形とします。卵形が任意の点に対して対称である場合 （つまり、中心が不変である逆射影透視図法がある場合）、卵形はパッピアンであり、二次曲面です。^[8]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle P\in \varepsilon \setminus {\mathcal {O}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$
• 射影空間内の卵形が2次曲面であるとは、 が不変となる射影性の群が に対して3-推移的に作用する場合、すなわち2つの3つ組に対して となる射影性が存在する場合をいう。^[9]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\;B_{1},B_{2},B_{3}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi (A_{i})=B_{i},\;i=1,2,3}$

有限の場合にはセグレの定理から次の式が得られます。

• を奇数次の有限3 次元デザルグ射影空間内の卵形とすると、 はパッピアンであり、 は二次曲面である。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

卵形の定義から条件(1)を取り除くと、半卵形の定義は次のようになる。

射影空間の点集合は、${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

以下の条件が当てはまります:

(SO1) 任意の点について、その点を通る接線はちょうど超平面を覆う。${\displaystyle P\in {\mathcal {O}}}$${\displaystyle P}$

(SO2) には線が含まれていません。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

半卵形は、二次集合を一般化した特殊な半二次集合^[10]である。半二次集合と二次集合の本質的な違いは、集合と共通する3点を持つ直線が存在する可能性があるが、その直線は集合に含まれないという事実である。

半卵形の例としては、エルミート形式の等方点の集合が挙げられます。これらはエルミート二次曲面と呼ばれます。

文献における卵形に関しては、半卵形をエルミート四面体とする基準がある。例えば^{[11]を参照。}

半卵形は、メビウス幾何学の例の構築に使用されます。

• 卵形（極空間）
• メビウス平面

• Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 44、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-61786-8、MR  0233275

• Barlotti、A. (1955)、「Un'estensione del teorema di Segre-Kustaan​​heimo」、Boll。国連。マット。イタル。、10：96～98
• ヒルシュフェルド、JWP（1985）、3次元の有限射影空間、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-853536-8
• パネッラ、G. (1955)、「Caratterizzazione delle quadriche di uno spazio (tri三次元) lineale sopra un corpo finito」、Boll。国連。マット。イタル。、10 : 507–513

• E. ハートマン:平面円幾何学、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門。スクリプト、TH ダルムシュタット (PDF; 891 kB)、S. 121-123。