開写像定理（複素解析）

複素解析において、開写像定理は、もし${\displaystyle U}$複素平面の領域である${\displaystyle \mathbb {C} }$そして${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$は定数でない正則関数である。${\displaystyle f}$はオープンマップです（つまり、オープンサブセットを送信します）${\displaystyle U}$サブセットを開く${\displaystyle \mathbb {C} }$（そして、ドメインの不変性があります。）

開写像定理は、正則性と実微分可能性の明確な違いを示している。例えば、実数直線上では、微分可能な関数は${\displaystyle f(x)=x^{2}}$開区間の画像は開地図ではありません${\displaystyle (-1,1)}$半開区間${\displaystyle [0,1)}$。

例えば、この定理は、定数でない正則関数は複素平面に埋め込まれた任意の直線の一部に開円盤を写像できないことを示唆している。正則関数の像は、実数次元がゼロ（定数の場合）または2（定数でない場合）になるが、次元が1になることは決してない。

仮定する${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$は定数でない正則関数であり、${\displaystyle U}$は複素平面の領域です。 のすべての点が であることを示す必要があります。${\displaystyle f(U)}$は内部点です${\displaystyle f(U)}$つまり、${\displaystyle f(U)}$近隣（オープンディスク）があり、${\displaystyle f(U)}$。

任意の${\displaystyle w_{0}}$で${\displaystyle f(U)}$すると、ある点が存在する。${\displaystyle z_{0}}$で${\displaystyle U}$そのため${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$。 以来${\displaystyle U}$開いているので、${\displaystyle d>0}$閉じた円盤${\displaystyle B}$その周り${\displaystyle z_{0}}$半径付き${\displaystyle d}$完全に含まれ${\displaystyle U}$関数を考えてみましょう${\displaystyle g(z)=f(z)-w_{0}}$。 ご了承ください${\displaystyle z_{0}}$これは関数の根です。

私たちは知っている${\displaystyle g(z)}$は定数ではなく、正則である。${\displaystyle g}$は恒等定理によって分離されるため、円盤の半径をさらに小さくすることで${\displaystyle B}$私たちは、${\displaystyle z_{0}}$唯一の根源は${\displaystyle g(z)}$で${\displaystyle B}$（ただし、この単一の根は1より大きい多重度を持つ可能性がある。）

境界${\displaystyle B}$は円であり、したがってコンパクト集合である。${\displaystyle |g(z)|}$は正の連続関数であるため、極値定理により正の最小値の存在が保証される。${\displaystyle e}$つまり、${\displaystyle e}$は最小値です${\displaystyle |g(z)|}$のために${\displaystyle z}$境界上で${\displaystyle B}$そして${\displaystyle e>0}$。

で表す${\displaystyle D}$ディスクが開いている${\displaystyle w_{0}}$半径付き${\displaystyle e}$ルーシェの定理により、関数${\displaystyle g(z)=f(z)-w_{0}}$重複度を考慮して数えた根の数は同じになります${\displaystyle B}$として${\displaystyle h(z):=f(z)-w_{1}}$いかなる場合でも${\displaystyle w_{1}}$ で${\displaystyle D}$これは ${\displaystyle h(z)=g(z)+(w_{0}-w_{1})}$、そして${\displaystyle z}$境界上で${\displaystyle B}$、${\displaystyle |g(z)|\geq e>|w_{0}-w_{1}|}$したがって、すべての${\displaystyle w_{1}}$で${\displaystyle D}$少なくとも1つ存在する$\displaystyle z_{1}}$で${\displaystyle B}$そのため${\displaystyle f(z_{1})=w_{1}}$これは、ディスクが${\displaystyle D}$に含まれる${\displaystyle f(B)}$。

ボールの画像${\displaystyle B}$、${\displaystyle f(B)}$は、画像のサブセットです。${\displaystyle U}$、${\displaystyle f(U)}$。 したがって${\displaystyle w_{0}}$は内部点です${\displaystyle f(U)}$。 以来${\displaystyle w_{0}}$恣意的であった${\displaystyle f(U)}$私たちは知っている${\displaystyle f(U)}$開いています。${\displaystyle U}$関数は任意であった。${\displaystyle f}$営業中です。

• 最大弾性係数原理
• ルーシェの定理
• シュヴァルツの補題

• 開写像定理（関数解析）

• ルディン、ウォルター（1966）、『実解析と複素解析』、マグロウヒル、ISBN 0-07-054234-1