完璧な地図

数学、特に位相幾何学において、完全写像は位相空間間の連続関数の特別な種類です。完全写像は同相写像よりも弱いですが、連続写像では必ずしも保存されない局所コンパクト性などの位相特性を保存するのに十分強いです。

およびを位相空間とし、を から への写像とし、が連続、閉、全射であり、 の各ファイバーがの各 に対してに対してコンパクトであるものとします。このとき は完全写像として知られています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p^{-1}(y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p}$

1. が完全写像で、がコンパクトである場合、 はコンパクトです。${\displaystyle p\colon X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$
2. が完全写像で が正則である場合、 は正則です。( が単なる連続である場合、 が正則であっても、正則である必要はありません。 この例として、が正則空間で が非離散位相の無限集合である場合が挙げられます。)${\displaystyle p\colon X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
3. が完全写像であり、 が局所コンパクトである場合、 は局所コンパクトです。${\displaystyle p\colon X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
4. が完全写像であり、が第 2 可算である場合、 は第 2 可算です。${\displaystyle p\colon X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
5. すべての単射完全写像は同相写像である。これは、単射閉写像には連続逆写像が存在するという事実から導かれる。
6. が完全写像であり、が連結である場合、 は連結である必要はありません。たとえば、コンパクトな不連結空間からシングルトン空間への定数写像は完全写像です。${\displaystyle p\colon X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$
7. 完全写像は開いている必要はありません。実際、かつ の場合にはで与えられる写像を考えてみましょう。この写像は閉じており、連続しており (貼り付け補題により)、全射であるため、完全写像です (他の条件は自明に満たされます)。しかし、pは開いていません。なぜなら、 pによる[1, 2]の像は[1, 2]であり、これは[1, 3] ( pの値域)に対して開いていないからです。この写像は商写像であり、商演算は 2 つの区間を「接着」することに注意してください。${\displaystyle p\colon [1,2]\cup [3,4]\to [1,3]}$${\displaystyle p(x)=x}$${\displaystyle x\in [1,2]}$${\displaystyle p(x)=x-1}$${\displaystyle x\in {}[3,4]}$
8. 局所的な連結性、第 2 の可算性、局所的なコンパクト性などの特性を保持するには、マップが連続しているだけでなく開いている必要があることに注意してください。完全マップは開いている必要はありません (前の例を参照) が、これらの特性は完全マップでも保持されます。
9. すべての同相写像は完全写像です。これは、全単射の開写像は閉じており、同相写像は単射であるため、範囲の各要素の逆写像は定義域内で有限でなければならない (実際、逆写像は正確に 1 つの要素を持たなければならない) という事実から導かれます。
10. すべての完全写像は商写像です。これは、閉じた連続射影写像は常に商写像であるという事実から導かれます。
11. G をXに連続的に作用するコンパクトな位相群とします。このとき、 XからX / Gへの商写像は完全写像となります。
12. 完全写像は適切である。Yの位相がハウスドルフかつコンパクトに生成される場合、射影的適切写像は完全である。^[1]

• 開いたマップと閉じたマップ – 開いた（閉じた）サブセットを開いた（閉じた）サブセットに送信する関数
• 商空間 – 位相空間の構築
• 適切な写像 – すべてのコンパクトな原像がコンパクトであるという性質を持つ位相空間間の写像

• マンクレス、ジェームズ(1999)。トポロジー(第 2 版)。プレンティス ホール。ISBN 0-13-181629-2。