遺伝的代数

数理遺伝学において、遺伝代数は遺伝学における継承をモデル化するために使用される（おそらく非結合的な）代数である。これらの代数のいくつかのバリエーションは、列車代数、特殊列車代数、配偶子代数、バーンスタイン代数、コピュラ代数、接合子代数、およびバリック代数（重み付き代数とも呼ばれる）と呼ばれる。これらの代数の研究は、アイヴァー・エザリントン （1939年）によって始められた。

遺伝学への応用では、これらの代数は遺伝的に異なる配偶子に対応する基底を持つことが多く、代数の構造定数はさまざまなタイプの子孫を生み出す確率をエンコードします。遺伝の法則は、代数の代数的特性としてエンコードされます。

遺伝的代数の概要については、Bertrand (1966)、Wörz-Busekros (1980)、Reed (1997) を参照してください。

重心代数（または重み付き代数）は、イーサリントン（1939）によって導入された。体K 上の重心代数は、代数からKへの重みと呼ばれる 準同型wを伴う 、 K上の非結合的な可能性のある代数である 。^[1]

バーンスタイン代数は、遺伝学におけるハーディ・ワインベルグの法則に関するセルゲイ・ナタノヴィッチ・バーンスタイン （1923） の研究に基づいており、体K上の （おそらく非結合的な）バリック代数Bであり、 BからKへの重み準同型w がを満たす。このような代数はすべて、 の形の冪等元eを持つ。eに対応するBのパース分解は 、${\displaystyle (x^{2})^{2}=w(x)^{2}x^{2}}$${\displaystyle e=a^{2}}$${\displaystyle w(a)=1}$

${\displaystyle B=Ke\oplus U_{e}\oplus Z_{e}}$

ここで 、およびである。これらの部分空間はeに依存しているが、その次元は不変であり、Bのタイプを構成する。例外的なベルンシュタイン代数は である。^[2]${\displaystyle U_{e}=\{a\in \ker w:ea=a/2\}}$${\displaystyle Z_{e}=\{a\in \ker w:ea=0\}}$${\displaystyle U_{e}^{2}=0}$

連結代数はエザリントン（1939、第8節）によって導入された。

体上の進化代数は、異なる基底項の積がゼロで、各基底元の平方が基底元の線形形式になることで乗算が定義される基底を持つ代数です。実進化代数は実数上で定義される代数です。線形形式の構造定数がすべて非負であれば、非負です。 ^[3] 進化代数は必然的に可換で柔軟ですが、必ずしも結合的またはべき結合的であるとは限りません。^[4]

配偶子代数は、すべての構造定数が0と1の間にある有限次元の実代数である。^[5]

遺伝的代数は Schafer (1949) によって導入され、彼は特殊列車代数は遺伝的代数であり、遺伝的代数は列車代数であることを示しました。

特殊列車代数は、エザリントン (1939、第 4 節) によって、バリック代数の特殊なケースとして導入されました。

特殊列車代数は、重み関数の核Nが冪零であり、 Nの主冪がイデアルである重心代数である。^[1]

Etherington (1941) は、特殊列車代数が列車代数であることを示した。

トレイン代数は、エザリントン (1939、セクション 4) によって、バリック代数の特殊なケースとして導入されました。

を体Kの元とする。形式多項式 ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle 1+c_{1}+\cdots +c_{n}=0}$

${\displaystyle x^{n}+c_{1}w(x)x^{n-1}+\cdots +c_{n}w(x)^{n}}$

は訓練多項式である。重みwのバリック代数Bは、次の条件を満たす場合訓練代数である。

${\displaystyle a^{n}+c_{1}w(a)a^{n-1}+\cdots +c_{n}w(a)^{n}=0}$

すべての要素 に対して、 が主たるべき乗として定義される。[ ^{1] [6]}${\displaystyle a\in B}$${\displaystyle a^{k}}$${\displaystyle (a^{k-1})a}$

接合子代数はエザリントン（1939、第7節）によって導入された。

• バーンスタイン、SN (1923)、「メンデルの定常性と一般化の原理」、CR Acad。科学。パリ、177 : 581–584。
• Bertrand、Monique (1966)、Algèbres non associatives et algèbres génétiques、Mémorial des Sciences Mathématiques、Fasc。 162、ゴーティエ ヴィラール エディチュール、パリ、MR  0215885
• Etherington, IMH (1939)、「遺伝的代数」(PDF)、Proc. R. Soc. Edinburgh、59 : 242–258、MR  0000597、Zbl 0027.29402、2011-07-06に オリジナル(PDF)からアーカイブ
• エザリントン、IMH (1941)、「特殊列車代数」、四半期数学ジャーナル、第 2 シリーズ、12 : 1–8、doi :10.1093/qmath/os-12.1.1、ISSN  0033-5606、JFM  67.0093.04、MR  0005111、Zbl  0027.29401
• リュビッチ、Yu.I. (2001) [1994]、「数理遺伝学におけるバーンスタイン問題」、数学百科事典、EMS プレス
• ミカリ、A. (2001) [1994]、「バリック代数」、数学百科事典、EMS プレス
• ミカリ、A. (2001) [1994]、「バーンスタイン代数」、数学百科事典、EMS プレス
• リード、メアリー・リン（1997）、「遺伝的継承の代数的構造」、アメリカ数学会報、新シリーズ、34（2）：107–130、doi：10.1090/S0273-0979-97-00712-X、ISSN  0002-9904、MR  1414973、Zbl  0876.17040
• シェーファー、リチャード D. (1949)、「遺伝的代数の構造」、アメリカ数学誌、71 : 121–135、doi :10.2307/2372100、ISSN  0002-9327、JSTOR  2372100、MR  0027751
• ティアン、ジャンジュン・ポール（2008）、進化代数とその応用、数学講義ノート、第1921巻、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-74283-8、Zbl  1136.17001
• Wörz-Busekros, Angelika (1980)、「遺伝学における代数」、生物数学の講義ノート、第36巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-09978-1、MR  0599179
• Wörz-Busekros, A. (2001) [1994]、「遺伝的代数」、数学百科事典、EMS Press

• リュービッチ、Yu.I. (1983)、集団遺伝学の数学的構造。 (Matematicheskie struktury v Populyatsionnojgenetike) (ロシア語)、キエフ: Naukova Dumka、Zbl  0593.92011