可換マグマ

数学には、可換だが結合的ではないマグマが存在します。そのようなマグマの簡単な例は、子供のじゃんけんゲームから得られるかもしれません。そのようなマグマは、非結合的な代数を生み出します。

可換かつ結合的なマグマは可換半群です。

じゃんけんゲームでは、をそれぞれ「グー」、「パー」、「チョキ」のジェスチャーとして、ゲームのルールから導かれる二項演算を次のように考えます。 ^[1]${\displaystyle M:=\{r,p,s\}}$ ${\displaystyle \cdot :M\times M\to M}$

全員： ${\displaystyle x,y\in M}$

• とがゲームで勝った場合、${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x}$
• ${\displaystyle x\cdot x=x}$     つまり、すべてはべき等です。${\displaystyle x}$

たとえば次のようになります。

• ${\displaystyle r\cdot p=p\cdot r=p}$   「紙は石に勝つ」
• ${\displaystyle s\cdot s=s}$   「はさみははさみで結ぶ」。

この結果、ケイリー表が得られる：^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}}$

定義上、マグマは可換であるが、非結合的で もある。^[2]${\displaystyle (M,\cdot )}$

${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)=r\cdot s=r}$

しかし

${\displaystyle (r\cdot p)\cdot s=p\cdot s=s}$

つまり

${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)\neq (r\cdot p)\cdot s}$

これは、マグマ演算の結果が演算の引数として与えられた2つの値のうちの1つになるという意味で、保存的な最も単純な非結合マグマです。 ^[2]

算術平均や、数値や高次元量の一般化平均（フレシェ平均など）は、多くの場合、交換可能だが結合的ではない。^[3]

可換だが非結合的なマグマは遺伝子組み換えの解析に使用できる。^[4]