内部セット

数理論理学、特にモデル理論と非標準解析において、内部集合はモデルのメンバーである集合です。

内部集合の概念は、実数 R の特性と、超実数と呼ばれる * R で表されるより大きな体の特性との間の論理的関係に関する転移原理を定式化するためのツールです。体* Rには特に無限小数( 「無限に小さい」) が含まれており、それらの使用に対する厳密な数学的正当性が提供されます。大まかに言えば、このアイデアは、R上の分析を適切な数理論理学の言語で表現し、この言語が * Rにも同様に当てはまることを指摘することです。集合論レベルでは、このような言語の命題はすべての集合ではなく内部集合にのみ適用されると解釈されるため、これが可能であることがわかります(上記の「言語」という用語は広い意味で使用されていることに注意してください)。

エドワード・ネルソンの内部集合論は、非標準解析に対する公理的なアプローチです (Palmgrenの構成的非標準解析も参照)。非標準解析の従来の無限説明でも、内部集合の概念が使用されています。

実数列の同値類としての超実数の超冪構成に関連して、 * Rの内部部分集合 [ A _n ] は実数集合の列によって定義されるものであり、ここで超実数が集合に属するのは、となる添字nの集合が* Rの構成に使用される超フィルタのメンバーである場合に限ります。 ${\displaystyle \langle u_{n}\rangle }$${\displaystyle \langle A_{n}\rangle }$${\displaystyle [u_{n}]}$${\displaystyle [A_{n}]\subseteq \;^{*}\!{\mathbb {R} }}$${\displaystyle u_{n}\in A_{n}}$

より一般的には、内部エンティティは実エンティティの自然拡張のメンバーです。したがって、 * Rのすべての要素は内部です。 * Rのサブセットは、Rの冪集合の自然拡張のメンバーである場合にのみ内部です。など。 ${\displaystyle {}^{*}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$

Rのサブセット (埋め込みコピー) である* Rのすべての内部サブセットは、必然的に有限です(定理 3.9.1 Goldblatt、1998 を参照)。言い換えると、超実数のすべての内部無限サブセットには、必ず非標準の要素が含まれます。

• 標準部品機能
• 上部構造（数学）

• ゴールドブラット、ロバート。超実数に関する講義。非標準解析入門。数学大学院テキスト、188。Springer-Verlag、ニューヨーク、1998年。
• アブラハム・ロビンソン（1996）「非標準解析」、プリンストン数学物理学のランドマーク、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-04490-3