プリュッカー埋め込み

数学において、プリュッカー写像はグラスマン多様体を埋め込む。${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$要素が実数または複素数のn次元ベクトル空間Vのk次元部分空間である射影空間であり、それによって射影代数多様体として実現される。より正確には、プリュッカー写像はを埋め込む。${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$投影化へ${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$の${\displaystyle k}$-番目の外部パワー${\displaystyle V}$画像は代数的であり、 § プリュッカー関係式（下記参照）で定義される複数の二次曲面の交点から構成されます。

プリュッカー埋め込みは、ユリウス・プリュッカーによって最初に定義されまし た 。${\displaystyle k=2,n=4}$3次元空間における線を記述する方法として（実射影空間における射影線として、4次元ベクトル空間の2次元部分空間に対応する）。この埋め込みの像は、RP ⁵におけるクライン二次曲面である。

ヘルマン・グラスマンはプリュッカーの埋め込みを任意のkとnに一般化した。グラスマン多様体の像の同次座標は${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$プリュッカー埋め込みの下で、外部空間の基底に関して${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$自然基底に対応する${\displaystyle V=K^{n}}$（どこ${\displaystyle K}$は基本場です) はプリュッカー座標と呼ばれます。

と表記する${\displaystyle V=K^{n}}$ の${\displaystyle n}$体上の次元ベクトル空間${\displaystyle K}$、そして ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$グラスマン期${\displaystyle k}$次元部分空間${\displaystyle V}$Plücker埋め込みは、次のように定義されるマップιである。

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}\iota$ :\ &\mathrm {Gr} (k,V)&\longrightarrow &\mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V),\\&{W}:=\operatorname {Span} (w_{1},\ldots ,w_{k})&\longmapsto &[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],\end{array}}}

どこ${\displaystyle (w_{1},\dots ,w_{k})}$要素の基礎となる ${\displaystyle {W}\in \mathrm {Gr} (k,V)}$そして${\displaystyle [w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}]}$は要素の射影同値類である${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$の${\displaystyle k}$外部の力${\displaystyle V}$。

これは、グラスマン多様体を射影化に埋め込むものである。${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$画像は、線形代数から導かれるプリュッカー座標（下記参照）上の同次二次関係によって表現される、多数の二次曲面、プリュッカー二次曲面（下記参照）の交点として完全に特徴付けることができます。

ブラケットリングは、多項式関数のリングとして現れる。${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$[ ^{1 ]​}

プリュッカー埋め込み下の画像は、通常プリュッカー関係またはグラスマン・プリュッカー関係と呼ばれる単純な同次二次関係を満たし、いくつかの二次曲面の交点を定義します。${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$これは、グラスマン多様体が代数的部分多様体として埋め込まれることを示している。${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$そしてグラスマン多様体を構成する別の方法も示します。グラスマン・プリュッカー関係を述べるには、${\displaystyle {W}\in \mathrm {Gr} (k,V)}$になる${\displaystyle k}$列ベクトルで表される基底によって張られる次元部分空間${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{k}}$。 させて${\displaystyle [W]}$になる ${\displaystyle n\times k}$列が ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{k}}$; 行列${\displaystyle W}$異なる基準に関して言えば、${\displaystyle [W]A}$任意の可逆${\displaystyle k\times k}$マトリックス${\displaystyle A}$任意の順序付きシーケンスについて${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ の${\displaystyle k}$整数、${\displaystyle \Delta _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$決定要因となる${\displaystyle k\times k}$サブマトリックス${\displaystyle [W]}$列に${\displaystyle (i_{1},\dots i_{k})}$; この決定子はマイナーと呼ばれます。次に${\displaystyle \{\Delta _{i_{1},\dots ,i_{k}}\}}$は要素のプリュッカー座標です${\displaystyle {W}\in \mathrm {Gr} (k,V)}$画像の線形座標${\displaystyle \iota ({W})\in \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$標準基準に対して${\displaystyle \{e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\}}$の${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$. 基礎を変える${\displaystyle W}$プリュッカー座標をゼロ以外の係数で変更するだけです${\displaystyle \det(A)}$、基底行列の変換の行列式は、同じ点を与える。${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$。

任意の2つの順序付きシーケンスについて：

${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k-1},\quad j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k+1}}$

正の整数の${\displaystyle 1\leq i_{l},j_{m}\leq n}$、以下の同次方程式が有効であり、 のイメージを決定します。 ${\displaystyle W}$プリュッカー地図の下: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{l}\Delta _{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}\Delta _{j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l},\dots j_{k+1}}=0,}$

どこ${\displaystyle j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l},\dots j_{k+1}}$用語は${\displaystyle j_{l}}$は省略されています。これらはプリュッカー関係です。

dim( V ) = 4、k = 2 の場合、${\displaystyle \mathrm {Gr} (2,V)}$、射影空間ではない最も単純なグラスマン多様体であり、上記は単一の方程式に帰着する。 の座標を表す${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{2}V}$による

${\displaystyle \Delta _{ij}=-\Delta _{ji},\quad 1\leq i,j\leq 4,}$

のイメージ${\displaystyle \mathrm {Gr} (2,V)}$プリュッカー写像の下では、単一の方程式によって定義される。

${\displaystyle \Delta _{12}\Delta _{34}-\Delta _{13}\Delta _{24}+\Delta _{14}\Delta _{23}=0.}$

一般に、( 1 )のようにプリュッカー埋め込みの像を定義するには、さらに多くの式が必要ですが、これらは一般に代数的に独立ではありません。代数的に独立な関係の最大数（ザリスキ開集合上）は、次元の差によって与えられます。${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$そして${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$それは${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}-k(n-k)-1.}$

• ミラー、エズラ。シュトゥルムフェルス、ベルント(2005)。組み合わせ可換代数。数学の大学院テキスト。 Vol.  227. ニューヨーク州ニューヨーク州: Springer-Verlag。ISBN 0-387-23707-0. Zbl 1090.13001 .