ミラクルオクタッドジェネレータ

数学において、ミラクルオクタッドジェネレーター（MOG ）は、マシュー群、バイナリゴレイコード、リーチ格子を研究するためにロブT.カーティス^[1]によって導入された数学ツールです。

ミラクル オクタッド ジェネレーターは、24 次元空間の任意の点を表す 4x6 配列の組み合わせです。マシュー群 M 24 のすべての対称性と最大部分群_、つまりモナド群、デュアッド群、トライアド群、オクタッド群、オクターン群、セクステット群、トリオ群、デュウム群を保存します。したがって、これらすべての対称性を調べるために使用できます。

Miracle Octad Generator のもう 1 つの用途は、バイナリ Golay コードのコードワードをすばやく検証することです。Miracle Octad Generator の各要素には、通常、それぞれアスタリスクと空白スペースとして表示される「1」または「0」を格納できます。各列と最上行には、カウントと呼ばれるプロパティがあります。これは、特定の行にあるアスタリスクの数です。24 個の座標のセットがバイナリ Golay コードのコードワードとなるための条件の 1 つは、7 つのカウントすべてが同じパリティであることです。もう 1 つの制限は、各列のスコアが16 進コードでワードを形成することです。列のスコアは、その内容に応じて 0、1、ω、または ω バーのいずれかになります。列のスコアは、次の規則で評価されます。

• 列にアスタリスクが 1 つだけ含まれている場合、そのアスタリスクが最上行にある場合はスコア 0、2 行目にある場合はスコア 1、3 行目にある場合はスコア ω、最下行にある場合はスコア ω バーになります。
• 列内のすべてのビットを同時に補完しても、スコアには影響しません。
• 一番上の行のビットを補完しても、そのスコアには影響しません。

コードワードは最上行とスコアのみから導き出すことができ、バイナリ Golay コードには正確に 4096 個のコードワードがあることを証明します。

John Horton Conway は、MiniMOGとして知られる 4 × 3 配列を開発しました。MiniMOG は、Miracle Octad Generator がそれぞれ M _{24と 2 進ゴレイ コードに対して提供するのと同じ機能を、Mathieu グループ M 12}と3 進ゴレイ コードに対して提供します。MiniMOG は、4 進 16 進コードを使用する代わりに、3 進 4 進コードを使用します。

• ジョン・ホートン・コンウェイ; Sloane、Neil JA (1999)、Sphere Packings, Lattices and Groups、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 290 (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98585-5、MR  0920369
• _{カーティス、RT (1976)、「M 24}への新しい組み合わせアプローチ」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、79 (1): 25–42、doi :10.1017/S0305004100052075、ISSN  0305-0041、MR  0399247

• 奇跡のオクタッドジェネレータ
• PlanetMathの奇跡のオクタッドジェネレーター。