完全に単調な関数と数列

実数値関数${\displaystyle f(x)}$区間上で定義される${\displaystyle I}$実数直線上の関数は、導関数が${\displaystyle f^{(n)}(x)}$すべてのオーダー${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$そして${\displaystyle f^{(n)}(x)\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle I}$[ ^{1 ]}関数^​${\displaystyle f(x)}$は、以下の条件を満たす場合に完全単調関数と呼ばれます。${\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle I}$[ ^{1 ]​}

この2つの概念は相互に関連している。${\displaystyle f(x)}$完全に単調であるのは、${\displaystyle f(-x)}$ 完全に単調です ${\displaystyle -I}$どこ${\displaystyle -I}$反射によって得られる間隔${\displaystyle I}$原点に関して。（したがって、もし${\displaystyle I}$区間は${\displaystyle (a,b)}$それから${\displaystyle -I}$区間は${\displaystyle (-b,-a)}$）

応用上、通常考慮される実数直線上の区間は、実数直線の右半分（閉開区間）である。${\displaystyle [0,\infty )}$。

特に半群上で完全単調関数を定義する場合、^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}それらは関数として定義される。${\displaystyle f}$そのため${\displaystyle \nabla _{a_{1}}\ldots \nabla _{a_{n}}f\geq 0}$すべてのシーケンスについて${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$どこ${\displaystyle \nabla _{a}}$は、次のように定義される有限差分演算子である。${\displaystyle (\nabla _{a}f)(x)=f(x)-f(x+a)}$。

以下の関数は、指定された領域において絶対的に単調である。^{[ 11 ]： 142-143}

1. ${\displaystyle f(x)=c}$、 どこ${\displaystyle c}$非負の定数、領域内${\displaystyle -\infty <x<\infty }$
2. ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$、 どこ${\displaystyle a_{k}\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle k}$その地域で${\displaystyle 0\leq x<\infty }$
3. ${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$その地域で${\displaystyle -\infty <x<\infty }$
4. ${\displaystyle f(x)=-\log(-x)}$その地域で${\displaystyle -1\leq x<0}$
5. ${\displaystyle f(x)=\sin ^{-1}x}$その地域で${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$

以下の関数は[ 0,∞)上で完全に単調である。

1. ${\displaystyle f(x)=c}$のために${\displaystyle c\geq 0}$
2. ${\displaystyle f(x)=e^{-tx}}$のために${\displaystyle t\geq 0}$
3. ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{-\beta }}$のために${\displaystyle \beta \geq 0}$
4. ${\displaystyle f(x)=\log(1+1/x)}$なぜならそれはラプラス変換だからである${\displaystyle (1-\exp(-t))/t\geq 0}$

以下の完全単調関数と絶対単調関数の組み合わせは完全単調です: ^{[ 12 ]}

• 完全単調関数の非負線形結合
• 完全単調関数の積
• ${\displaystyle f\circ g}$どこ${\displaystyle f}$完全に単調で${\displaystyle g}$完全に単調です
• ${\displaystyle f\circ g}$どこ${\displaystyle f}$完全に単調で${\displaystyle g}$はバーンスタイン関数です（${\displaystyle g\geq 0}$およびその派生物${\displaystyle g'}$（完全に単調です）

フォワード差額${\displaystyle f(x)-f(x+b)}$のために${\displaystyle b\geq 0}$完全に単調な関数${\displaystyle f}$完全に単調である（${\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}}$すべての${\displaystyle n\geq 0}$)

もし${\displaystyle f}$は完全に単調です${\displaystyle [x-a,x]}$と${\displaystyle a>0}$テイラーの定理とラグランジュ剰余項を用いることができる

${\displaystyle f(x-a)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}f^{(k)}(x)}{k!}}a^{k}+{\frac {(-1)^{n}f^{(n)}(\xi )}{n!}}a^{n}\geq {\frac {(-1)^{n}f^{(n)}(x)}{n!}}a^{n}}$

どこ${\displaystyle x-a\leq \xi \leq x}$そして私たちはそれを利用しました${\displaystyle (-1)^{k}f^{(k)}(x)\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle k}$そして${\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}}$減少している。これから上限値が得られる。

${\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)\leq {\frac {n!}{a^{n}}}f(x-a)}$

その結果、係数は${\displaystyle c_{n}}$テイラーシリーズの${\displaystyle f}$で${\displaystyle x}$確認する${\displaystyle |c_{n}|=|f^{(n)}(x)|/n!\leq f(x-a)\,a^{-n}}$コーシー・アダマールの定理を適用すると、テイラー級数の収束半径は${\displaystyle x}$少なくとも${\displaystyle a}$。

もし${\displaystyle f}$は完全に単調です${\displaystyle [x,x+b]}$と${\displaystyle b>0}$そうすれば、次のように書ける${\displaystyle f(x+b)=P_{n}(b)+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}b^{n+1}}$どこ${\displaystyle P_{n}}$次数が のテイラー多項式である${\displaystyle n}$の${\displaystyle f}$で${\displaystyle x}$そして${\displaystyle x\leq \xi \leq x+b}$そして、${\displaystyle f^{(n)}(\xi )}$パリティに依存します${\displaystyle n}$すべての${\displaystyle k\geq 0}$^[ 13 ^]​

${\displaystyle P_{2k+1}(b)\leq f(x+b)\leq P_{2k}(b)}$

これはつまり、${\displaystyle f}$分析的である${\displaystyle [x,x+R)}$どこ${\displaystyle R}$はテイラー級数の収束半径である。${\displaystyle f}$で${\displaystyle x}$そしてもし私たちが${\displaystyle R>0}$。

テイラー級数の収束半径と完全単調関数の解析性に関する上記の結果から、ベルンシュタインの小定理と呼ばれることもある次の結果を導き出すことができる。

開区間上で完全に単調な関数${\displaystyle (a,b)}$複素平面上の開円盤上の解析関数に拡張することができ、${\displaystyle |z-b|<b-a}$そしてこの関数は区間上で完全に単調になります${\displaystyle (a,b]}$関数が完全に単調である場合、${\displaystyle (a,\infty )}$すると、複素半平面上の解析関数に拡張できる。${\displaystyle \operatorname {Re} (z)>a}$そしてそれが完全に単調である場合${\displaystyle (-\infty ,b)}$そうすれば、複素平面全体で解析的な関数に拡張することができる。

同様の結果は、絶対的に単調な関数にも当てはまります。${\displaystyle f}$その逆もまた然り${\displaystyle f(-x)}$完全に単調である。開区間で絶対的に単調な関数${\displaystyle (a,b)}$複素平面上の開円盤上の解析関数に拡張することができ、${\displaystyle |z-a|<b-a}$そしてこの関数は区間上で絶対単調になります${\displaystyle [a,b)}$^{[ 11 ] [ 14 ]} 関数が絶対単調である場合、${\displaystyle (-\infty ,b)}$すると、複素半平面上の解析関数に拡張できる。${\displaystyle \operatorname {Re} (z)<b}$そしてそれが完全に単調である場合${\displaystyle (a,\infty )}$そうすれば、複素平面全体で解析的な関数に拡張することができる。

上の完全単調関数の集合${\displaystyle (0,\infty )}$そのため${\displaystyle f\leq 1}$はコンパクトサブセットである${\displaystyle C^{\infty }(0,\infty )}$通常のフレシェ位相の場合。

単調関数に関するベルンシュタインの定理：関数${\displaystyle f(x)}$それは完全に単調です${\displaystyle [0,\infty )}$は、ラプラス積分として次のように表すことができる。

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }e^{-xt}\,d\mu (t)}$

どこ${\displaystyle \mu (t)}$は非減少かつ有界である${\displaystyle [0,\infty )}$。

ラプラス変換表現から、

${\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-xt}\,d\mu (t)}$

そして、関数にコーシー・シュワルツの不等式を適用することができます。${\displaystyle t^{(n-1)/2}}$そして${\displaystyle t^{(n+1)/2}}$重量${\displaystyle e^{-xt}\,d\mu (t)}$取得するため

${\displaystyle (f^{(n)}(x))^{2}\leq f^{(n-1)}(x)f^{(n+1)}(x)}$

これは、すべての${\displaystyle x}$シーケンス${\displaystyle f^{(n)}(x)}$のために${\displaystyle n\geq 0}$は対数凸である。また、すべてのに対して、${\displaystyle n}$機能${\displaystyle f^{(n)}}$対数凸である理由は${\displaystyle (\log f^{(n)})''=(f^{(n)}f^{(n+2)}-(f^{(n+1)})^{2})/(f^{(n)})^{2}\geq 0}$。

シュール凸性の概念に基づいて、より一般的な不等式を見つけることができます。^{[ 15 ] [ 16 ]}

上記に関連して、ベルンシュタイン関数は、非負であり、かつ導関数が完全に単調である関数として定義される。

以下の関数はベルンシュタイン関数です。

1. ${\displaystyle f(x)=x^{\beta }}$のために${\displaystyle \beta \in [0,1]}$
2. ${\displaystyle f(x)=\log(1+x)}$
3. ${\displaystyle f(x)=x/(1+x)}$
4. ${\displaystyle f(x)=1-e^{-tx}}$のために${\displaystyle t\geq 0}$

すべてのベルンシュタイン関数は、次の表現を持ちます。

${\displaystyle f(t)=a+bt+\int _{0}^{\infty }\left(1-e^{-tx}\right)\mu (dx),}$

どこ${\displaystyle a,b\geq 0}$そして${\displaystyle \mu }$は正の実数半直線上の測度であり、

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(1\wedge x\right)\mu (dx)<\infty .}$

シーケンス${\displaystyle \{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }}$の要素が非負であり、かつ連続する差分がすべて非負である場合、すなわち、 が絶対単調数列と呼ばれる。

${\displaystyle \Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots }$

どこ${\displaystyle \Delta ^{k}\mu _{n}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{k \choose m}\mu _{n+k-m}}$。

シーケンス${\displaystyle \{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }}$要素が非負であり、連続する差分が交互に非正と非負である場合、完全単調数列と呼ばれる。^{[ 11 ] : 101}つまり、

${\displaystyle (-1)^{k}\Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots }$

シーケンス${\displaystyle \left\{{\frac {1}{n+1}}\right\}_{0}^{\infty }}$そして${\displaystyle \{c^{n}\}_{0}^{\infty }}$のために${\displaystyle 0\leq c\leq 1}$これらは完全に単調な数列である。

シーケンス${\displaystyle \{\mu _{n}\}_{0}^{\infty }}$単調増加関数が存在する場合に限り、完全に単調である。${\displaystyle \alpha (t)}$の上${\displaystyle [0,1]}$そのため

${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{1}t^{n}\,d\alpha (t),\quad n=0,1,2,\ldots }$

この関数を数列から求めることは、ハウスドルフモーメント問題と呼ばれます。