周期的な単調性

数学において、周期的単調性は、単調性の概念をベクトル値関数の場合に一般化したものである。^{[1] [2]}

を内積空間上の内積とし、をの空でない部分集合とする。に対応する点の任意の集合に対して次が成り立つとき、その対応は巡回単調と呼ばれる^[3]。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:U\rightrightarrows X}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m+1}\in U}$${\displaystyle x_{m+1}=x_{1}}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}\langle x_{k+1},f(x_{k+1})-f(x_{k})\rangle \geq 0.}$

1変数のスカラー関数の場合、上記の定義は通常の単調性と同等です。 凸関数の勾配は巡回的に単調です。実際、逆も真です。^[4]が凸で、が空でない値との対応であるとします。すると、が巡回的に単調であれば、任意の に対してとなる上半連続凸関数が存在し、ここで は におけるのサブ勾配を表します。^[5]${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)\subset \partial F(x)}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle \partial F(x)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$

• 絶対的かつ完全に単調な関数とシーケンス