演算子単調関数

線型代数学において、作用素単調関数は実数値関数の重要なタイプであり、 1934年にチャールズ・レーヴナーによって完全に分類されました。 ^[1]これは、作用素凹関数や作用素凹関数と密接に関連しており、作用素理論や行列理論で使用され、レーヴナー・ハインツの不等式につながりました。^{[2] [3]}

区間上で定義された関数は、および がエルミート行列（任意のサイズ/次元）であり、その固有値がすべて の領域に属し、その差が半正定値行列 である場合に、必ずが成り立つとき、演算子単調であると言わ れます。ここで、 および は、によって誘導される行列関数の値です（これらは、 およびと同じサイズの行列です）。 ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle f(A)-f(B)\geq 0}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle f(B)}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

表記

この定義は、現在定義されている表記法で頻繁に表現されます。行列が半正定値であることを示すには と書き、と2 つの行列の差が を満たす(つまり、が半正定値である) ことを示すにはと書きます。${\displaystyle A\geq 0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\geq B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB\geq 0}$${\displaystyle AB}$

定理の記述にあるように、およびを用いると、行列関数の値は、 のスペクトル分解によって定義される行列（ と同じサイズ）である。ここで 、 は対応する射影を持つ の固有値である。${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}}$$${\displaystyle f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,}$$${\displaystyle \lambda_{j}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{j}.}$

演算子単調関数の定義は次のように言い換えることができます。

区間上で定義された関数は、すべての正の整数とすべてのエルミート行列に対して（そしてその場合に限り）であり、固有値が である場合に、${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle A\geq B}$${\displaystyle f(A)\geq f(B).}$

• 行列関数 – 行列を行列にマッピングする関数リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• トレース不等式 – ヒルベルト空間上の線型作用素を含む不等式フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• シリング、R.ソング、R. Vondraček、Z. (2010)。バーンスタイン機能。理論と応用。数学の研究。 Vol. 37. デ・グルイテル、ベルリン。土井：10.1515/9783110215311。ISBN 9783110215311。
• Hansen, Frank (2013). 「Löwner の定理への近道」.線形代数とその応用. 438 (11): 4557–4571. arXiv : 1112.0098 . doi :10.1016/j.laa.2013.01.022. S2CID  119607318.
• Chansangiam, Pattrawut (2015). 「演算子の単調性、演算子の凸性、演算子の平均に関する調査」。International Journal of Analysis。2015 : 1–8。doi : 10.1155/2015/649839。