単調関数に関するベルンシュタインの定理

数学の一分野である実解析において、ベルンシュタインの定理は、半直線[0, ∞)上の完全に単調なすべての実数値関数は指数関数の混合であると述べている。重要な特殊なケースの 1 つとして、混合は加重平均、つまり期待値である。

関数fの全単調性（完全単調性とも呼ばれる）は、f が[0, ∞)上で連続であり、(0, ∞)上で無限微分可能であり、 すべての非負整数nおよびすべてのt > 0に対してを満たすことを意味します。別の慣例により、上記の定義では 逆の不等式が用いられます。$${\displaystyle (-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)\geq 0}$$

「加重平均」ステートメントは、次のように特徴付けることができます。[0, ∞)上に、累積分布関数gを持つ非負 の有限ボレル測度が存在し、 その積分はリーマン・スティルチェス積分となります。 $${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dg(x),}$$

より抽象的な言葉で言えば、定理は[0, ∞)上の正のボレル測度のラプラス変換を特徴づける。この形式では、定理はベルンシュタイン・ヴィダー定理、またはハウスドルフ・ベルンシュタイン・ヴィダー定理として知られている。フェリックス・ハウスドルフは、以前に完全に単調なシーケンスを特徴づけていた。これらは、ハウスドルフモーメント問題に現れるシーケンスである。

導関数が完全に単調である非負関数はベルンシュタイン関数と呼ばれる。すべてのベルンシュタイン関数はレヴィ・ヒンチン表現を持つ。 ここで、およびは正の実数半直線上の測度であり、 $${\displaystyle f(t)=a+bt+\int _{0}^{\infty }\left(1-e^{-tx}\right)\mu (dx),}$$${\displaystyle a,b\geq 0}$${\displaystyle \mu}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(1\wedge x\right)\mu (dx)<\infty .}$$

• 絶対的かつ完全に単調な関数とシーケンス

• SN バーンスタイン(1928)。 「シュール・レ・フォンション・アブソリュメント・モノトーン」。アクタ・マセマティカ。52：1-66。土井：10.1007/BF02592679。
• D. Widder (1941)。『ラプラス変換』、プリンストン大学出版局。
• ルネ・シリング、レンミン・ソング、ゾラン・ヴォンドラチェク（2010年）。バーンスタイン関数。デ・グルイテル。