単一峰性

数学において、単峰性とは、固有のモードを持つことを意味します。より一般的には、単峰性とは、何らかの方法で定義された、ある数学的対象に単一の最高値しかないことを意味します。^[1]

統計学では、単峰性確率分布または単峰性分布は、単一のピークを持つ確率分布です。この文脈での「モード」という用語は、統計学で通常使用されるモードの厳密な定義だけでなく、分布の任意のピークを指します。

分布関数が単一のモードを持つ場合、その分布関数は「単峰性」と呼ばれます。モードが複数ある場合は、「二峰性」(2)、「三峰​​性」(3) など、または一般に「多峰性」と呼ばれます。^[2]図1は、単峰性である正規分布を示しています。単峰性分布の他の例としては、コーシー分布、スチューデントのt分布、カイ2乗分布、指数分布などがあります。離散分布の中では、二項分布とポアソン分布は単峰性として見ることができますが、一部のパラメータでは、同じ確率で2つの隣接する値を持つことがあります。

図 2 と図 3 は二峰性分布を示しています。

分布関数の単峰性には他の定義も存在します。

連続分布では、累積分布関数(cdf)の挙動を通じて単峰性を定義することができます。^[3] cdf がx  <  mで凸で、x  >  mで凹の場合、分布は単峰性であり、mはモードです。この定義では、一様分布は単峰性であり、^[4]台形分布など、値の範囲で最大分布が達成されるその他の分布も同様であることに注意してください。通常、この定義ではモードでの不連続性が許容されます。通常、連続分布では単一の値の確率はゼロですが、この定義ではモードでゼロ以外の確率、つまり「確率の原子」が許容されます。

単峰性の基準は分布の特性関数^[3]またはそのラプラス・スティルチェス変換^[5]を通じて定義することもできる。

単峰性離散分布を定義する別の方法は、確率の差のシーケンスで符号の変化が発生するかどうかによって定義します。^[6]確率質量関数を持つ離散分布は、シーケンスにちょうど1つの符号の変化がある場合（ゼロはカウントされない場合） 、単峰性と呼ばれます。${\displaystyle \{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}}$${\displaystyle \dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots }$

分布の単峰性が重要である理由の 1 つは、いくつかの重要な結果が得られることです。単峰性分布にのみ有効な不等式がいくつか以下に示されています。したがって、特定のデータ セットが単峰性分布からのものであるかどうかを評価することが重要です。単峰性に関するいくつかのテストについては、多峰性分布に関する記事で説明されています。

最初の重要な結果はガウスの不等式である。^[7]ガウスの不等式は、値がそのモードから任意の距離以上離れている確率の上限を与える。この不等式は単峰性に依存する。

2つ目は、チェビシェフの不等式を改良したヴィソチャンスキー・ペチュニン不等式^[8]です。チェビシェフの不等式は、あらゆる確率分布において、「ほぼすべての」値が平均値に「近い」ことを保証します。ヴィソチャンスキー・ペチュニン不等式は、分布関数が連続かつ単峰性である場合に、これをさらに近い値に改良します。さらなる結果は、セルケとセルケによって示されました。^[9]

ガウスは1823年に単峰分布^{[10]に対して}

${\displaystyle \sigma \leq \omega \leq 2\sigma }$

そして

${\displaystyle |\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,}$

ここで、中央値はν、平均はμ、 ω はモードからの 二乗平均平方根偏差です。

単峰性分布では、中央値νと平均値μは互いに（3/5）^1/ 2≈0.7746標準偏差以内にあることが示される。 ^[11]記号では、

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$

ここで | . | は絶対値です。

2020年に、バーナード、カッツィ、ヴァンダッフェルは、対称四分位平均と平均の間の最大距離を導出することで、以前の不等式を一般化した。 ^[12]${\displaystyle {\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}}\right.}$

最大距離が で最小化される（つまり、対称四分位平均が に等しい ）ことは注目に値します。これは、平均値の堅牢な推定値として中央値が一般的に選択される理由です。さらに、 のとき、境界は に等しくなり、これは単峰性分布の中央値と平均値の間の最大距離です。 ${\displaystyle \alpha =0.5}$${\displaystyle q_{0.5}=\nu }$${\displaystyle \alpha =0.5}$${\displaystyle {\sqrt {3/5}}}$

中央値と最頻値θの間にも同様の関係が成り立ち、それらは互いに 3 ^{1/2 ≈ 1.732 標準偏差以内に収まります。}

${\displaystyle {\frac {|\nu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

平均値と最頻値は互いに 3 ^{1/2以内にあることも示されます。}

${\displaystyle {\frac {|\mu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

ロハトギとシェケリは、単峰性分布の歪度と尖度は次の不等式で関係していると主張した。^[13]

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {6}{5}}=1.2}$

ここでκは尖度、γは歪度である。Klaassen、Mokveld、van Esは、これはモードと平均が一致する単峰性分布の集合など、特定の設定にのみ当てはまることを示した。^[14]

彼らは、すべての単峰性分布に当てはまるより弱い不等式を導出した。^[14]

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {186}{125}}=1.488}$

この境界は、[0,1]上の均一分布と{0}上の離散分布の等重み混合によって達成されるため、厳密です。

「モーダル」という用語はデータ セットと確率分布に適用され、関数全般には適用されないため、上記の定義は適用されません。「単峰性」の定義は、実数の関数にも拡張されました。

一般的な定義は次のとおりです。関数f ( x ) は、ある値mに対して、x  ≤  mでは単調増加し、 x  ≥  mでは単調減少する場合、単峰性関数です。その場合、f ( x )の最大値はf ( m ) であり、他の極大値は存在しません。

ユニモダリティの証明は難しいことが多い。一つの方法はその性質の定義を使うことであるが、それは単純な関数にしか適していない。導関数に基づく一般的な方法が存在するが^[15]、その単純さにもかかわらず、すべての関数に成功するわけではない。

単峰関数の例には、負の二次係数を持つ二次多項式関数、テントマップ関数などがあります。

上記は、次のようなものと関連していることがあります。強い単調性は、暗示される単調性が強い単調性であるという事実からわかります。関数f(x) はx ≤ mに対して弱単調増加しx ≥ mに対して弱単調減少する値m が弱単調関数。その場合、最大値f(mxの連続した範囲の値で到達できますパスカルの三角形の行 1 つおきです。

文脈によっては、単峰性関数は、最大値ではなく、局所的最小値が1つしかない関数を指すこともあります。^[16]たとえば、数値最適化を行う方法である局所単峰性サンプリングは、このような関数でよく実証されます。この拡張による単峰性関数は、単一の局所的極値を持つ関数であると言えます。

単峰関数の重要な特性の一つは、黄金分割探索、三値探索、逐次放物線補間などの探索アルゴリズムを使用して極値を見つけることができることである。^[17]

関数f ( x )は、そのシュワルツ微分がすべての に対して負であり、ここで が臨界点である場合に「S-単峰性」（「S-単峰性写像」とも呼ばれる）である。 ^[18]${\displaystyle x\neq c}$${\displaystyle c}$

計算幾何学では、関数が単峰性であれば、関数の極値を見つけるための効率的なアルゴリズムを設計することができます。^[19]

ベクトル変数Xの関数f ( X ) に適用可能な、より一般的な定義は、 f ( G ( Z )) が凸となるような1 対 1微分可能写像X = G ( Z )が存在する場合、fは単峰性であるというものです。通常、 G ( Z )は、特異でないヤコビ行列で連続的に微分可能であることが望まれます。

準凸関数と準凹関数は、単峰性の概念を、引数が高次元ユークリッド空間に属する関数に拡張します。

• 二峰性分布
• リードの推測