不連続性の分類

数学において連続関数は重要ですが、すべての関数が連続であるとは限りません。関数が定義域の極限点（集積点またはクラスター点とも呼ばれる）で連続でない場合、その点に不連続点が存在します。関数の不連続点の集合は、離散的な集合、密な集合、あるいは関数の定義域全体となる場合もあります。

初等実解析では、1つの実変数を持つ実関数の不連続性は、片側極限の挙動に基づいて区別されることが多い。分類は完全に標準化されているわけではないが、一般的には、関連する片側極限が存在する第1種の不連続性と、少なくとも1つの片側極限が存在しないか無限大となる第2種の不連続性に分けられる。除去可能な不連続性や跳躍不連続性といった特殊なケースも存在する。

以下のそれぞれについて、実数値関数を考えます。${\displaystyle f}$実変数の${\displaystyle x,}$点の近傍で定義される${\displaystyle x_{0}}$その${\displaystyle f}$不連続である。

除去可能な不連続性

区分的関数 を考える$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\2-x&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

要点${\displaystyle x_{0}=1}$これは除去可能な不連続点です。この種の不連続点については、次のようになります。

負の方向からの 片側極限：$${\displaystyle L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)}$$ そして、正の方向からの片側極限： $${\displaystyle L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)}$$ で${\displaystyle x_{0}}$両方とも存在し、有限であり、等しい${\displaystyle L=L^{-}=L^{+}.}$言い換えれば、2 つの片側極限が存在し、等しいので、極限${\displaystyle L}$の${\displaystyle f(x)}$として${\displaystyle x}$アプローチ${\displaystyle x_{0}}$存在し、この同じ値と等しい。実際の値が${\displaystyle f\left(x_{0}\right)}$等しくない​${\displaystyle L,}$それから${\displaystyle x_{0}}$と呼ばれる除去可能な不連続性。この不連続性を除去することで、${\displaystyle f}$連続${\displaystyle x_{0},}$あるいはより正確には、その関数 $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}}$$ 連続${\displaystyle x=x_{0}.}$

除去可能な不連続性という用語は、除去可能な特異点を含むように拡張される場合があり、その特異点では両方向の極限が存在し、かつ等しいが、関数はその点で定義されない。${\displaystyle x_{0}.}$^{[ a ]}この用法は用語の濫用なぜなら、連続性と不連続性は、関数の定義域内の点に対してのみ定義される概念だからです。

ジャンプ不連続

関数を考えてみましょう $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$$

そして、ポイント${\displaystyle x_{0}=1}$はジャンプ不連続性。

この場合、片側極限が存在するため、単一の極限は存在しません。${\displaystyle L^{-}}$そして$\displaystyle L^{+}}$存在し有限であるが、等しくはない。なぜなら、${\displaystyle L^{-}\neq L^{+},}$限界${\displaystyle L}$存在しない。次に、${\displaystyle x_{0}}$これはジャンプ不連続、ステップ不連続、または第一種不連続と呼ばれます。このタイプの不連続の場合、関数は${\displaystyle f}$価値を持つ可能性がある${\displaystyle x_{0}.}$

本質的な不連続性

本質的不連続性の場合、2 つの片側極限のうち少なくとも 1 つは存在しません。${\displaystyle \mathbb {R} }$（片側極限の一方または両方が${\displaystyle \pm \infty }$)

関数を考えてみましょう $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ for }}x>1.\end{cases}}}$$

そして、ポイント${\displaystyle x_{0}=1}$は本質的な不連続性。

この例では、両方とも${\displaystyle L^{-}}$そして $\displaystyle L^{+}}$存在しない${\displaystyle \mathbb {R} }$それによって、本質的不連続性の条件が満たされる。${\displaystyle x_{0}}$これは、本質的不連続性、無限不連続性、または第二種不連続性です。（これは、複素変数関数を研究する際によく用いられる本質的特異点とは異なります。）

仮に${\displaystyle f}$区間上で定義された関数${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$を と表記する${\displaystyle D}$すべての不連続性の集合${\displaystyle f}$の上${\displaystyle I.}$による${\displaystyle R}$すべての集合を意味する${\displaystyle x_{0}\in I}$そのため${\displaystyle f}$除去可能な不連続部がある${\displaystyle x_{0}.}$同様に${\displaystyle J}$すべての${\displaystyle x_{0}\in I}$そのため${\displaystyle f}$ジャンプ不連続点があります${\displaystyle x_{0}.}$すべてのセット${\displaystyle x_{0}\in I}$そのため${\displaystyle f}$本質的な不連続性がある${\displaystyle x_{0}}$は、${\displaystyle E.}$もちろん、${\displaystyle D=R\cup J\cup E.}$

この集合の次の2つの特性${\displaystyle D}$文献において関連性がある。

• セット${\displaystyle D}$は${\displaystyle F_{\sigma }}$集合。関数が連続である点の集合は常に${\displaystyle G_{\delta }}$セット（^{[ 2 ]}を参照）。
• 区間内${\displaystyle I,}$${\displaystyle f}$単調な場合は${\displaystyle D}$最大で可算名詞であり、${\displaystyle D=J.}$これはフロダの定理です。

トム・アポストル^{[ 3 ]}は、除去可能な不連続性とジャンプ不連続性のみを考慮することで、上記の分類を部分的に踏襲している。彼の目的は、主にフロダの定理を証明するために、単調関数の不連続性を研究することである。ウォルター・ルーディン^{[ 4 ]}とカール・R・ストロンバーグ^{[ 5 ]}も、同じ目的で、異なる用語を用いて除去可能な不連続性とジャンプ不連続性を研究している。しかし、さらに両著者は、${\displaystyle R\cup J}$は常に可算集合である（^{[ 6 ] [ 7 ]}を参照）。

本質的不連続性という用語は、1889年にはすでに数学の文脈で使用されていた証拠がある。^{[ 8 ]}しかし、この用語が数学的な定義とともに最初に使用されたのは、ジョン・クリッパートの著作であると思われる。^{[ 9 ]}クリッパートは、その中で、本質的不連続性自体を分類し、集合を細分化した。${\displaystyle E}$以下の3つのセットに分けます。

$${\displaystyle E_{1}=\left\{x_{0}\in I:\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ および }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ は }}\mathbb {R} \right\},}$$$${\displaystyle E_{2}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ は }}\mathbb {R} に存在し、}}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ は }}\mathbb {R} に存在しない \right\},}$$$${\displaystyle E_{3}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{は}}\mathbb {R}に存在せず、}}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{は}}\mathbb {R}に存在する}.}$$

もちろん${\displaystyle E=E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}.}$いつでも${\displaystyle x_{0}\in E_{1},}$${\displaystyle x_{0}}$これは第一種本質的不連続性と呼ばれる。${\displaystyle x_{0}\in E_{2}\cup E_{3}}$これは第二種の本質的な不連続性であると言われている。したがって彼は集合を拡大する${\displaystyle R\cup J}$可算名詞としての特性を失うことなく、以下のように述べる。

• セット${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$可算名詞である。

いつ${\displaystyle I=[a,b]}$そして${\displaystyle f}$は有界関数であり、集合の重要性はよく知られている。${\displaystyle D}$リーマン積分可能性に関して${\displaystyle f.}$実際、ルベーグの定理（ルベーグ＝ヴィタリの定理とも呼ばれる）は次のように述べている。${\displaystyle f}$リーマン積分可能か${\displaystyle I=[a,b]}$かつその場合に限り${\displaystyle D}$はルベーグ測度がゼロの集合である。

この定理では、あらゆる種類の不連続性が、有界関数の障害に対して同じ重みを持つように思われる。${\displaystyle f}$リーマン積分可能${\displaystyle [a,b].}$可算集合はルベーグ測度ゼロの集合であり、ルベーグ測度ゼロの集合の可算和集合も依然としてルベーグ測度ゼロの集合であるため、これは当てはまらないことがわかります。実際、集合の不連続性は${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$リーマン積分可能性に関して完全に中立である${\displaystyle f.}$その目的における主な不連続性は、第一種の本質的不連続性であり、したがって、ルベーグ・ヴィタリの定理は次のように書き換えることができる。

• 有界関数、${\displaystyle f,}$リーマン積分可能か${\displaystyle [a,b]}$対応セットが${\displaystyle E_{1}}$第一種すべての本質的不連続性${\displaystyle f}$ルベーグ測度はゼロである。

の場合${\displaystyle E_{1}=\varnothing }$これは、有界関数のリーマン積分可能性に関する以下のよく知られた古典的な補完状況に対応する。${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$:

• もし${\displaystyle f}$各点で右限界を持つ${\displaystyle [a,b[}$それから${\displaystyle f}$リーマン積分可能か${\displaystyle [a,b]}$（^{[ 10 ]}を参照）
• もし${\displaystyle f}$各点で左限界を持つ${\displaystyle ]a,b]}$それから${\displaystyle f}$リーマン積分可能か${\displaystyle [a,b].}$
• もし${\displaystyle f}$規制された機能${\displaystyle [a,b]}$それから${\displaystyle f}$リーマン積分可能か${\displaystyle [a,b].}$

させて${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$開区間、${\displaystyle F:I\to \mathbb {R} }$微分可能である${\displaystyle I,}$そして${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$の導関数である${\displaystyle F.}$つまり、${\displaystyle F'(x)=f(x)}$すべての${\displaystyle x\in I}$ダルブーの定理によれば、導関数は${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$中間値の性質を満たす。${\displaystyle f}$もちろん、区間上で連続である${\displaystyle I,}$この場合、ボルツァーノの定理も適用されます。ボルツァーノの定理は、すべての連続関数が中間値の性質を満たすと主張していることを思い出してください。一方、その逆は偽です。ダルブーの定理は、中間値の性質を仮定していません。${\displaystyle f}$連続であり、中間値の性質は意味しない${\displaystyle f}$連続している${\displaystyle I.}$

しかし、ダルブーの定理は、不連続性の種類に直接的な影響を及ぼします。${\displaystyle f}$持つことができる。実際、もし${\displaystyle x_{0}\in I}$不連続点${\displaystyle f}$そうすれば必然的に${\displaystyle x_{0}}$本質的な不連続性${\displaystyle f}$[ ^{11 ]} これは特に、次の2つの状況は発生しないことを意味^します。

さらに、他の2つの状況も除外する必要がある（ジョン・クリッパート^{[ 12 ]}を参照）。

条件(i)、(ii)、(iii)、(iv)のいずれかが満たされるたびに、${\displaystyle x_{0}\in I}$結論として、${\displaystyle f}$反派生形を持たない、${\displaystyle F}$区間において${\displaystyle I}$。

一方、任意の関数に関して新たなタイプの不連続性${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$導入できるもの: 本質的な不連続性、${\displaystyle x_{0}\in I}$関数の${\displaystyle f}$は、根本的な不連続性であると言われている。${\displaystyle f}$もし

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\neq \pm \infty }$$そして$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\neq \pm \infty .}$$

したがって、${\displaystyle x_{0}\in I}$導関数の不連続性${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$そうすれば必然的に${\displaystyle x_{0}}$は根本的な不連続性である${\displaystyle f}$。

また、次の点にも注意してください。 ${\displaystyle I=[a,b]}$そして${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$は有界関数であり、ルベーグの定理の仮定と同様に、すべての に対して が成り立つ。${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$: $${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}f(x)\neq \pm \infty ,}$$$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\neq \pm \infty ,}$$そして $${\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}f(x)\neq \pm \infty .}$$ したがって、本質的な不連続性${\displaystyle f}$これは根本的な問題です。

• 除去可能な特異点– 正則関数上の未定義点であり、正則化することができる 
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• 連続性による拡張― 位相空間の性質 
• 滑らかさ– 関数またはマップの微分可能性の度合い 
  • 幾何学的連続性– 関数またはマップの微分可能性の度合いリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
  • パラメトリック連続性– パラメトリック曲線の滑らかさの概念 

• Malik, SC; Arora, Savita (1992).数学解析（第2 版）. ニューヨーク：Wiley. ISBN 0-470-21858-4。{{cite book}}: CS1メンテナンス: パブリッシャーの場所 (リンク)

• 「不連続」。PlanetMath 。
• 「不連続性」エド・ペッグ・ジュニア著、ウルフラム・デモンストレーションズ・プロジェクト、2007年。
• ワイススタイン、エリック・W. 「不連続性」 . MathWorld .
• クドリャフツェフ、LD (2001) [1994]. 「不連続点」 .数学百科事典. EMS Press .