擬似単調演算子

数学において、反射的バナッハ空間からその連続双対空間への擬似単調作用素は、ある意味では単調作用素とほぼ同じように振る舞う作用素である。変分法における多くの問題は擬似単調な作用素を使って表現することができ、擬似単調性はこれらの問題に対する解の存在を意味する。

( X , || ||) を反射的バナッハ空間とする。Xからその連続双対空間 X ∗ への写像^T :  X  →  X  ∗^は、Tが有界作用素（必ずしも連続ではない）であり、

${\displaystyle u_{j}\rightharpoonup u{\mbox{ in }}X{\mbox{ as }}j\to \infty }$

（つまり、u _{j は} uに弱収束する）そして

${\displaystyle \limsup _{j\to \infty }\langle T(u_{j}),u_{j}-u\rangle \leq 0,}$

 全て のv∈Xに対して、

${\displaystyle \liminf _{j\to \infty }\langle T(u_{j}),u_{j}-v\rangle \geq \langle T(u),uv\rangle .}$

ブラウダー・ミンティ定理の証明と非常によく似た証明を用いて、次のことを示すことができます。

( X , || ||) を実反射バナッハ空間とし、 T  :  X  →  X ^∗が有界、強制的、擬似単調であると仮定します。すると、各連続線型関数 g  ∈  X ^∗に対して、方程式T ( u ) =  gの解u  ∈  Xが存在します。

• Renardy, Michael & Rogers, Robert C. (2004)。偏微分方程式入門。応用数学テキスト 13 (第 2 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。p. 367。ISBN 0-387-00444-0。(定義9.56、定理9.57)