ポンペイウ派生

実解析において、ポンペイユ微分とは、1つの実変数の実数値関数であり、至るところで微分可能な関数の導関数であり、かつ稠密集合内でゼロとなる関数である。特に、ポンペイユ微分は、ゼロでないすべての点で不連続である。このような関数が恒等的にゼロでないものが存在するかどうかは、1900年代初頭の関数微分可能性と積分可能性の研究において生じた問題であった。この問題は、ディミトリエ・ポンペイユが具体的な例を構成することで肯定的に解決した。そのため、これらの関数は彼の名にちなんで名付けられている。

ポンペイウの建築についてここで説明する。$\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$実数xの実数立方根を表す。${\displaystyle \{q_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }}$を単位区間[0, 1]内の有理数の列挙とする。${\displaystyle \{a_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }}$正の実数で${\displaystyle \sum _{j}a_{j}<\infty .}$定義する${\displaystyle g\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$による

${\displaystyle g(x):=a_{0}+\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{x-q_{j}}}.}$

[0, 1]の各xに対して、級数の各項の絶対値は j 以下であるため、_ワイエルシュトラスの M 判定法により、級数は一様に連続かつ厳密に増加する関数g ( x )に収束します。さらに、関数gは微分可能であり、

${\displaystyle g'(x):={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{j}}{\sqrt[{3}]{(x-q_{j})^{2}}}}>0,}$

和が有限となるすべての点において、また、他のすべての点、特に各q _jにおいて、 g ′( x )  := +∞となる。gの像は左端点を持つ閉区間であるため

${\displaystyle g(0)=a_{0}-\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{q_{j}}},}$

選択に応じて${\displaystyle a_{0}}$我々は、${\displaystyle g(0)=0}$乗法因子の選択を除けば、g は区間[0, 1] をそれ自身に写像すると仮定できます。gは厳密に単調増加なので単射であり、したがって同相写像です。また、逆関数の微分定理により、その逆関数f  := g ⁻¹はすべての点で有限の導関数を持ち、少なくとも次の点ではゼロになります。${\displaystyle \{g(q_{j})\}_{j\in \mathbb {N} }.}$これらは[0, 1]の密な部分集合を形成する（実際には、他の多くの点では消滅する。下記参照）。

• 任意の至るところで微分可能な関数（より一般的には、任意のベールクラス1関数）の導関数の零点集合は、実数直線のGδ部分集合である_ことが知られています。定義により、任意のポンペイウ関数に対して、この集合は稠密なGδ集合であり、したがって残余集合です 。特に、この集合は_非可算個の点を持ちます。
• ポンペイウ関数の線形結合af ( x ) + bg ( x )は導関数であり、 { f = 0} ∩ { g = 0}の集合上でゼロになる。この集合は稠密である。${\displaystyle G_{\delta }}$ベールのカテゴリー定理によって定義される。したがって、ポンペイユ関数は関数のベクトル空間を形成する。
• ポンペイユ微分の一様収束列の極限関数はポンペイユ微分である。実際、微分符号に関する極限定理により、それは微分である。さらに、この関数は列の関数の零点集合の共通部分でゼロになる。これらの零点集合_は稠密なGδ集合であるため、極限関数の零点集合も稠密になる。
• その結果、区間[ a , b ]上のすべての有界ポンペイウ微分からなるクラスEは、一様距離の下でのすべての有界関数からなるバナッハ空間の閉線形部分空間となる（したがって、バナッハ空間である）。
• ポンペイユによる上記の正関数の構成は、ポンペイユ関数のかなり特殊な例である。ワイルの定理によれば、一般にポンペイユ微分は稠密集合において正負両方の値をとる。これは、そのような関数がバナッハ空間Eの残余集合を構成するという正確な意味においてである。 

• ポンペイウ、ディミトリエ（1907年）。 「シュール・レ・フォンション・デリヴェ」。Mathematische Annalen (フランス語)。63 (3): 326–332。土井: 10.1007/BF01449201。MR 1511410。 
• Andrew M. Bruckner、「実関数の微分」、CRM モノグラフ シリーズ、モントリオール (1994)。