主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理

数学において、抽象代数の分野において、主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理は、有限生成アーベル群の基本定理の一般化であり、大まかに言えば、主イデアル領域(PID)上の有限生成加 群は、整数が素因数分解できるのとほぼ同じ方法で一意に分解できることを述べています。この結果は、体上の正方行列のさまざまな標準形の結果を理解するための単純な枠組みを提供します。

体F上のベクトル空間が有限生成集合を持つ場合、有限個のベクトルnからなる基底をそこから抽出でき、したがってその空間はF ⁿと同型である。主イデアル領域Rに一般化されたFに関する対応する記述はもはや正しくない。これは、R上の有限生成モジュールの基底が存在しない可能性があるからである。しかし、そのようなモジュールは、nが有限である何らかのモジュールR ⁿの商と依然として同型である (これを確認するには、 R ⁿの標準基底の要素をモジュールの生成元に送り、その核で商を取る射を構築すれば十分である)。生成集合の選択を変更することで、実際には、モジュールを何らかのR ^{n を}特に単純なサブモジュールで商として記述することができ、これが構造定理である。

主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理は、通常、次の 2 つの形式で現れます。

主イデアル領域R上のすべての有限生成加群Mに対して、 M が巡回加群の和と同型となるような固有イデアルの減少列が一意に存在する。 ${\displaystyle (d_{1})\supseteq (d_{2})\supseteq \cdots \supseteq (d_{n})}$

${\displaystyle M\cong \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}).}$

イデアルの生成元は、単位による乗算を除いて一意であり、Mの不変因子と呼ばれます。イデアルは固有でなければならないため、これらの因子自体は逆であってはなりません (これにより、和に自明な因子が含まれることが回避されます)。また、イデアルを含めることは、 が割り切れることを意味します。自由部分は、因子 に対応する分解の部分で確認できます。このような因子は、存在する場合、シーケンスの最後に発生します。 ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle d_{1}\,|\,d_{2}\,|\,\cdots \,|\,d_{n}}$${\displaystyle d_{i}=0}$

直和はMによって一意に決定されますが、分解を与える同型性自体は一般に一意ではありません。たとえば、 Rが実際には体である場合、発生するすべてのイデアルはゼロでなければならず、有限次元ベクトル空間の 1 次元部分空間の直和への分解が得られます。このような因子の数は固定されており、つまり空間の次元ですが、部分空間自体を選択する自由度は大きいです ( dim M > 1の場合)。

非ゼロの要素と、その数がゼロの要素を合わせると、モジュールの完全な不変量セットが形成されます。明示的には、同じ不変量セットを共有する任意の 2 つのモジュールは必ず同型であることを意味します。 ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle d_{i}}$

Mの自由部分を別に書くことを好む人もいます。

${\displaystyle R^{f}\oplus \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R^{f}\oplus R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{nf})\;,}$

ここで、可視はゼロ以外であり、f は元のシーケンス内の 0 の数です。${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle d_{i}}$

主イデアル領域R上のすべての有限生成加群Mは、次の形式のいずれかに同型である。

${\displaystyle \bigoplus _{i}R/(q_{i})\;,}$

ここで、 および は基本イデアルです。 は一意です (単位による乗算を除きます)。 ${\displaystyle (q_{i})\neq R}$${\displaystyle (q_{i})}$${\displaystyle q_{i}}$

元はMの基本因子と呼ばれます。PID では、非ゼロの基本イデアルは素数の累乗であるため です。 のとき、結果として得られる分解不可能なモジュールはそれ自身であり、これはMの自由モジュールの部分内にあります。 ${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle (q_{i})=(p_{i}^{r_{i}})=(p_{i})^{r_{i}}}$${\displaystyle q_{i}=0}$${\displaystyle R}$

加数は分解不可能なので、主分解は分解不可能なモジュールへの分解となり、したがって PID 上の有限生成モジュールはすべて完全に分解可能なモジュールとなります。PID はネーター環なので、これはラスカー・ネーター定理の現れと見ることができます。 ${\displaystyle R/(q_{i})}$

以前と同様に、自由部分（ここで）を別々に書き、Mを次のように 表すこともできる。${\displaystyle q_{i}=0}$

${\displaystyle R^{f}\oplus (\bigoplus _{i}R/(q_{i}))\;,}$

可視値はゼロ以外です。 ${\displaystyle q_{i}}$

一つの証明は次のように進みます。

• PID はネーター的であり、一貫性よりもさらに強い条件であるため、PID 上のすべての有限生成モジュールも有限提示​​されます。
• マップ（ジェネレーターとの関係）であるプレゼンテーションを取り、それをスミス正規形に配置します。${\displaystyle R^{r}\to R^{g}}$

これにより不変因子分解が得られ、スミス正規形の対角要素が不変因子になります。

証明の別の概要:

• Mの捩れ部分加群をtMで表す。捩れ部分加群はMの部分加群として埋め込むことができ、これにより短い完全列が得られる。

${\displaystyle 0\rightarrow tM\rightarrow M\rightarrow M/tM\rightarrow 0}$

ここで、写像は射影です。M / tMは有限生成の捩れ自由加群で、可換 PID 上のそのような加群は有限ランクの自由加群なので、正の整数nに対して、次と同型です。すべての自由加群は射影加群なので、射影写像の右逆が存在します ( M/tMの各生成元をMに持ち上げるだけで十分です)。分割補題(左分割) により、M は次のように分割されます。 ${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle M=tM\oplus F}$

• Rの素元 pについて、について話すことができます。 これはtMのサブモジュールであり、各N _{p は}巡回モジュールの直和であり、tM は有限個の異なる素数pに対してN _pの直和であることがわかります。${\displaystyle N_{p}=\{m\in tM\mid \exists i,mp^{i}=0\}}$
• 前の 2 つのステップを組み合わせると、M は指定されたタイプの巡回モジュールに分解されます。

これには、有限次元ベクトル空間を特別なケースとして分類することが含まれます。体には非自明なイデアルがないため、有限生成ベクトル空間はすべて自由です。 ${\displaystyle R=K}$

をとると、有限生成アーベル群の基本定理が得られます。 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$

T をK上の有限次元ベクトル空間V上の線型作用素とします。Kの係数を持つ多項式の代数をTで評価すると、 Tの構造情報が得られます。V は上の有限生成モジュールと見なすことができます。最後の不変因子は最小多項式であり、不変因子の積は特性多項式です。 の標準行列形式と組み合わせると、さまざまな標準形式が得られます。 ${\displaystyle R=K[T]}$${\displaystyle K[T]}$${\displaystyle K[T]/p(T)}$

• 不変因子+付随行列はフロベニウス正規形（別名、有理標準形）を生成する。
• 一次分解＋コンパニオン行列は一次有理標準形を生成する
• 一次分解+ジョルダンブロックはジョルダン標準形を生成する（後者は代数的に閉じた体上でのみ成り立つ）

不変量（階数、不変因子、および基本因子）は一意ですが、Mとその標準形式間の同型性は一意ではなく、直和分解も保存されません。これは、これらのモジュールの、加数を保存しない 非自明な自己同型が存在するためです。

しかし、標準的な捩れサブモジュールTと、それぞれの（異なる）不変因子に対応する同様の標準的なサブモジュールがあり、それらは標準的なシーケンスを生成します。

${\displaystyle 0<\cdots <T<M.}$

ジョルダン・ヘルダーの定理における合成級数を比較します。

たとえば、および が1 つの基底である場合、 は 別の基底となり、基底行列の変更は加数 を保存しません。ただし、これは捩れサブモジュール (ここでは 2 捩れ要素と同等) であるため、加数は保存されます。 ${\displaystyle M\approx \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2}$${\displaystyle (1,{\bar {0}}),(0,{\bar {1}})}$${\displaystyle (1,{\bar {1}}),(0,{\bar {1}})}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} /2}$

ジョルダン・ヘルダーの定理は、有限群（または任意の環上の加群）に対するより一般的な結果です。この一般性では、直和ではなく合成級数が得られます。

クルル・シュミットの定理と関連する結果は、モジュールが一次分解、つまり、順序まで一意である分解 不可能なモジュールの直和としての分解に似たものを持つ条件を与えます。

一次分解は可換ネーター環上の有限生成加群に一般化され、この結果はラスカー・ネーター定理と呼ばれます。

対照的に、分解不可能なサブモジュールへの一意の分解はそこまで一般化されず、失敗はPID に対して消滅する理想的なクラス グループによって測定されます。

主イデアル領域でない環の場合、2 つの元によって生成される環上の加群に対しても、一意の分解が成立する必要はない。環R  =  Z [√−5] の場合、 2 と 1 + √−5 によって生成される加群Rとその部分加群Mは両方とも分解不能である。 R はMと同型ではないが、R  ⊕  R はM  ⊕  Mと同型である。したがって、 Mの加数の像は、R  ⊕  Rの異なる分解を与える分解不能な部分加群L ₁ ,  L ₂  <  R  ⊕  Rを与える。R  ⊕  Rを分解不能な加群の直和に一意に因数分解できないことは、（イデアル類群を介して） Rの元をRの既約元に一意に因数分解できないことに直接関係している。

しかし、デデキント領域上ではイデアル類群が唯一の障害であり、構造定理はわずかな修正を加えることでデデキント領域上の有限生成加群に一般化されます。依然として、捩れのない補集合 (同型性を除いて一意) を持つ一意の捩れ部分がありますが、デデキント領域上の捩れのない加群は、必ずしも自由である必要はありません。デデキント領域上の捩れのない加群は、ランクとシュタイニッツ類(イデアル類群で値を取る) によって決定され (同型性を除いて)、 Rのコピーの直和(ランク 1 の自由加群) への分解は、ランク 1 の射影加群への直和に置き換えられます。つまり、個々の加数は一意に決定されませんが、シュタイニッツ類 (和の) は一意に決定されます。

同様に、有限生成でないモジュールの場合、このような適切な分解は期待できません。因子の数さえも変化する可能性があります。Q ⁴には、 2 つの分解不可能なモジュールの直和であると同時に 3 つの分解不可能なモジュールの直和でもあるZサブモジュールがあり、これは、整数Zに対しても、基本分解の類似が無限生成モジュールには当てはまらないことを示しています。

非有限生成加群で生じる別の問題は、自由ではない捩れのない加群が存在することである。たとえば、整数の環Z を考えてみよう。すると、 Q は自由ではない捩れのないZ加群となる。そのような加群の別の古典的な例は、項ごとの加算のもとでの整数のすべての列の群であるBaer–Specker 群である。一般に、どの無限生成捩れのないアーベル群が自由であるかという問題は、どの大きな基数が存在するかによって決まる。結果として、無限生成加群の構造定理は集合論の公理の選択に依存し、異なる選択のもとでは無効になる可能性がある。