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線形代数において、体Fの要素を持つ正方行列Aのフロベニウス標準形または 有理標準形は、 F上の可逆行列による共役によって得られる行列の標準形です。この形式は、ベクトル空間をAに対して巡回する部分空間(つまり、あるベクトルとそのAによる繰り返し像によって張られる部分空間)に最小限に分解した結果を反映しています。与えられた行列から到達できる標準形は 1 つだけであるため (「標準形」と呼ばれる所以)、行列BがAと相似であるのは、 B がAと同じ有理標準形を持つ場合に限ります。この形式は、体Fを拡張する際に変化する可能性のある操作(「有理形」と呼ばれる所以) を一切行わずに、特に多項式の因数分解を行わずに求めることができるため、2 つの行列が相似であるかどうかは、体の拡張によって変化しないことがわかります。この形式は、ドイツの数学者フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスにちなんで名付けられました。
一部の著者は、より正確には「主有理標準形」と呼ばれる、やや異なる形式に対して「有理標準形」という用語を使用しています。主有理標準形は、最小数の巡回部分空間に分解するのではなく、最大数の巡回部分空間に分解します。主有理標準形もF上で定義されますが、性質がやや異なります。主有理標準形を求めるには多項式の因数分解が必要であり、その結果、同じ行列をFの拡大体上で考えると、主有理標準形が変化する可能性があります。本稿では主に因数分解を必要としない形式を扱い、因数分解を用いる形式を指す場合には明示的に「主有理」という語を用います。
2 つの正方行列AとBが相似かどうかを調べる場合、1 つのアプローチとして、それぞれの行列について、ベクトル空間を可能な限り安定部分空間の直和に分解し、これらの部分空間に対するそれぞれの作用を比較する方法があります。たとえば、両方とも対角化可能であれば、固有空間への分解（作用はスカラーによるものなので、最も単純です）を行い、固有値とその重複度を比較することで相似性を判定できます。実際には、これは非常に洞察に富んだアプローチであることが多いのですが、一般的な方法としてはいくつかの欠点があります。まず、すべての固有値、たとえば特性多項式の根を見つける必要がありますが、それらを明示的に表現できない場合があります。次に、完全な固有値の集合は、作業対象の体の拡張にのみ存在する可能性があり、その場合、元の体上での相似性の証明は得られません。最後に、AとBは、このより大きな体上でも対角化できない可能性があり、その場合は、一般化固有空間への分解、場合によってはジョルダンブロックへの分解を使用する必要があります。
しかし、このような細かい分解を得ることは、単に 2 つの行列が類似しているかどうかを判断するために必要ではありません。有理標準形は、代わりに、各部分空間に対する作用を非常に簡単に記述できる、できるだけ大きな安定部分空間への直接和分解を使用することに基づいています。これらの部分空間は、単一の非ゼロベクトルvと、行列に関連付けられた線形演算子を繰り返し適用することによって生成されるすべてのイメージによって生成されなければなりません。このような部分空間は、（巡回部分群との類推により）巡回部分空間と呼ばれ、明らかに線形演算子の下で安定です。このような部分空間の基底は、 vとその連続するイメージが線形独立である限り、それらを取ることによって得られます。このような基底に関する線形演算子の行列は、単項多項式の伴侶行列です。この多項式（部分空間に制限された演算子の最小多項式であり、その概念は巡回部分群の位数に類似している）は、同型を除いて巡回部分空間に対する演算子の作用を決定し、部分空間を生成するベクトルvの選択に依存しない。
巡回部分空間への直和分解は常に存在し、それを見つけるのに多項式の因数分解は必要ありません。ただし、巡回部分空間は、より小さな巡回部分空間の直和として分解できる可能性があります（本質的には中国剰余定理による）。したがって、両方の行列について空間の巡回部分空間への何らかの分解があり、対応する最小多項式がわかっているだけでは、それらの類似性を判断するには十分ではありません。類似した行列に対して、巡回部分空間への分解が完全に一致することを保証するために、追加の条件が課されます。関連する最小多項式のリストでは、各多項式が次の多項式を割り切る必要があります（また、定数多項式 1 は、自明な巡回部分空間を除外するために禁止されています）。結果として得られる多項式のリストは、 （によって定義されるK [ X ]モジュールの）不変因子と呼ばれ、2 つの行列は、不変因子のリストが同一である場合に限り類似しています。行列Aの有理標準形は、A を巡回部分空間への分解に適した基底で表現することによって得られ、その巡回部分空間に対応する最小多項式はAの不変因子である。2 つの行列は、同じ有理標準形を持つ場合に限り、相似である。
Q上の次の行列 A を考えます。
Aは最小多項式を持つ、したがって、単一ベクトルの繰り返し像によって生成される部分空間の次元は最大で6である。特性多項式はこれは最小多項式を係数で乗じたものです。常に、それらが生成する巡回部分空間が、演算子が空間全体で持つ最小多項式と同じ最小多項式を持つようなベクトルが存在する。実際、ほとんどのベクトルはこの性質を持ち、この場合、最初の標準基底ベクトルもこの性質を持つ。すると、ベクトルはのために線形独立であり、最小多項式を持つ巡回部分空間を張る。この巡回部分空間には相補的な安定部分空間（次元2）が存在し、ベクトルによって生成される空間はそしては一例です。実際には、したがって、相補部分空間は、によって生成される巡回部分空間である。; 最小多項式を持つ。 以来は空間全体の最小多項式であり、分割しなければならない（そして、それがそうであることは容易に確認できる）そして、不変因子が見つかった。そしてAの。すると、 Aの有理標準形は、対応する伴行列を対角ブロックとするブロック対角行列、すなわち、
この形式が実現される基盤は、ベクトルによって形成される。上記に続いてのために; 明示的には、これは次のことを意味します。
1つは
基底体Fと、 F上の有限次元ベクトル空間Vを固定します。多項式P ∈ F [ X ] が与えられたとき、特性多項式と最小多項式が両方ともPに等しいコンパニオン行列C Pがそれに関連付けられます。
定理：V を体F上の有限次元ベクトル空間とし、A をF上の正方行列とする。このとき、V ( Xの作用がAで与えられるF [ X ]-加群とみなした場合) はF [ X ]-加群同型を持つ。
ここで、f i ∈ F [ X ] は、正の次数を持つ単項式（つまり、 F [ X ]において非単元）であり、以下の関係式を満たすものとする。
（ここで「a | b」は「a がbを割り切る」の表記です）これらの条件を満たすと、多項式f iのリストは一意になります。
証明の概略：主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理をVに適用し、V をF [ X ] 加群とみなします。構造定理は巡回因子への分解を与え、各因子はF [ X ]を適切なイデアルで割った商です。結果として得られる自由加群はFベクトル空間として無限次元になりますが、Vは有限次元であるため、零イデアルは存在できません。多項式f iについては、それぞれのイデアルの一意な単生成元を取ります。構造定理により、すべてのイデアルが前のイデアルに含まれることが保証されるため、 f iの可除条件が得られます。詳細は [DF] を参照してください。
任意の正方行列が与えられた場合、ジョルダン標準形を構成する際に使用する基本因子はF [ X ]上に存在しないため、代わりに上記の不変因子f i を使用する必要があります。これらの因子の最後のf kは最小多項式であり、すべての不変因子がこれを割り切ります。不変因子の積は特性多項式になります。これは、最小多項式が特性多項式を割り切ること（これは本質的にケイリー・ハミルトンの定理です）、および特性多項式の既約因子がすべて最小多項式も割り切ること（重複度が低い場合もあります）を意味することに注意してください。
各不変因子f iに対して、対応する行列C f iを取り、これらのブロックから形成されるブロック対角行列がAの有理標準形を与える。最小多項式が特性多項式と同一である場合 ( k = 1 の場合)、フロベニウス標準形は特性多項式の対応行列となる。有理標準形はAに関連付けられた一意の不変因子によって一意に決定され、これらの不変因子は基底に依存しないため、2 つの正方行列AとBは、同じ有理標準形を持つ場合に限り相似であることがわかる。
フロベニウス標準形は、基底体F上に存在したとしても、特性多項式の因数分解のいかなる形式も反映しません。これは、F を別の体（元の行列Aの要素を含む限り）に置き換えても、フロベニウス標準形が不変であることを意味します。一方、このことは、特性多項式の因数分解に依存する他の標準形、特に（Aが対角化可能な場合の）対角形式や、より一般的には（特性多項式が線形因子に分解される場合の）ジョルダン標準形とは、フロベニウス標準形がかなり異なることを意味します。例えば、対角要素が異なる対角行列のフロベニウス標準形は、その特性多項式のコンパニオン行列に他なりません。
正規形を定義する別の方法があり、それはフロベニウス正規形と同様に、常にAと同じ体F上で定義されますが、特性多項式 (または同等に最小多項式) のF上の既約因子への可能な因数分解を反映しており、この因数分解が線形因子 (固有値に対応) のみを含む場合、ジョルダン正規形に帰着します。この形式[ 1 ]は、一般化ジョルダン正規形、または基本有理正準形と呼ばれることがあります。これは、ベクトル空間が特性多項式の異なる既約因子Pに対応する安定部分空間の直和に正準的に分解できるという事実に基づいています(レム・デ・ノヨー[ 2 ]で述べられているように)。ここで、各項の特性多項式は、対応するPのべき乗です。これらの項は、非正準的に、巡回F [ x ] 加群の直和としてさらに分解できます(上記のフロベニウス標準形の場合と同様)。ここで、各項の特性多項式は、依然として P の (一般に小さい) べき乗です。主要な有理正準形は、巡回加群へのこのような分解に対応するブロック対角行列であり、巡回加群の基底の特定の選択に対応する、対角ブロック内の一般化ジョルダンブロックと呼ばれる特定の形式を持ちます。この一般化ジョルダンブロック自体は、次の形式のブロック行列です。
ここで、Cは既約多項式Pの伴行列であり、U は右上隅に 1 のみを持つ非ゼロ要素を持つ行列です。線形既約因子P = x − λの場合、これらのブロックは単一の要素C = λおよびU = 1に縮小され 、(転置された) ジョルダン ブロックが得られます。任意の一般化ジョルダン ブロックでは、主対角線のすぐ下の要素はすべて1 です。この形式を生み出す巡回加群の基底は、生成ベクトルv (巡回加群の最小多項式がP kであるP k −1 ( A )によって消滅しないもの) を選択し、それを基底として取得します。
ここでd = deg P。
