測度保存力学システム

数学において、測度保存力学系は力学系の抽象的な定式化、特にエルゴード理論の研究対象である。測度保存系はポアンカレの再発定理に従い、保存系の特殊なケースである。これらは広範囲の物理系、特に古典力学からの多くの系（特にほとんどの非散逸系）や熱力学的平衡にある系に形式的かつ数学的な基礎を与える。

測度保存力学系は、確率空間とその上の測度保存変換として定義される。より詳しくは、それはシステムである。

${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$

次の構造になります。

• ${\displaystyle X}$集合である、
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$はσ-代数であり、${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]}$は確率測度なので、、および、${\displaystyle \mu (X)=1}$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$は測度を保存する測定可能な変換、つまりです。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$

測度保存変換が順変換ではなく逆変換で定義されるのはなぜかと疑問に思う人もいるかもしれません。これは直感的に理解できます。 ${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$${\displaystyle \mu (T(A))=\mu (A)}$

単位区間 上の一般的な測定と、マップについて考えてみましょう。これがベルヌーイ マップです。次に、単位区間 上に均一な層のペイントを塗布し、ペイントを前方にマップします。半分のペイントは全体に薄く広がり、半分のペイントも同様に広がります。2 層の薄いペイントを重ねると、まったく同じペイントの厚さが再現されます。 ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle Tx=2x\mod 1={\begin{cases}2x{\text{ if }}x<1/2\\2x-1{\text{ if }}x>1/2\\\end{cases}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1/2]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [1/2,1]}$

より一般的には、サブセット に到着するペイントは、サブセット から来ます。ペイントの厚さが変化しないようにするには (測定値が維持されるように)、入ってくるペイントの質量が同じである必要があります。 ${\displaystyle A\subset [0,1]}$${\displaystyle T^{-1}(A)}$${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$

べき集合のマッピングを考えてみましょう: ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}:P(X)\to P(X)}$

ここで、交差、和、補集合を保存する（したがって、これはボレル集合の写像である）特殊なケースの写像を考えます。また、を に送信します（これを保存的にしたいため）。このような保存的ボレル保存写像はすべて、 と書くことで、何らかの射影写像によって指定できます。もちろん、 を定義することもできますが、これだけではこのようなすべての可能な写像を指定するのに十分ではありません。つまり、保存的ボレル保存写像は、一般に の形式では記述できません。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T:X\to X}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T^{-1}(A)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A);}$

${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))}$はプッシュフォワードの形をとりますが、は一般にプルバックと呼ばれます。動的システムのほぼすべての特性と動作は、プッシュフォワードによって定義されます。たとえば、転送演算子は変換マップのプッシュフォワードによって定義されます。測度は不変測度として理解できます。これは、転送演算子のフロベニウス-ペロン固有ベクトルにすぎません (FP 固有ベクトルは行列の最大固有ベクトルであることを思い出してください。この場合、固有値が 1 である固有ベクトル、つまり不変測度です)。 ${\displaystyle \mu (T(A))}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$

興味深い分類問題が 2 つあります。1 つは、以下で説明するように、 を固定し、変換マップ の同型類について尋ねます。もう 1 つは、転送演算子で説明するように、と を固定し、測度のようなマップについて尋ねます。測度のようなマップとは、ボレル特性が保持されるが不変ではないという点で、測度のようなマップです。一般に散逸的であるため、散逸システムと平衡への道筋についての洞察が得られます。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$

物理学の用語では、測度保存力学系は、例えば熱力学的平衡などの平衡状態にある物理系を表すことが多い。どのようにしてその状態になったのか、と疑問に思う人もいるかもしれない。多くの場合、その答えは、撹拌、混合、乱流、熱平衡化などのプロセスによる、というものである。変換マップがこの撹拌、混合などを表す場合、すべての過渡モードが減衰した後に残るのは系だけである。過渡モードとは、まさに、固有値が 1 未満の転送演算子の固有ベクトルであり、不変測度は減衰しない唯一のモードである。過渡モードの減衰率は、それらの固有値 (の対数) によって与えられ、固有値が 1 である場合は、半減期が無限大である。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$${\displaystyle \mu }$

物理学のミクロカノニカル アンサンブルは、非公式な例を提供します。たとえば、原子で構成された幅、長さ、高さのボックス内の流体、ガス、またはプラズマを考えてみましょう。そのボックス内の 1 つの原子は、任意の速度でどこにでも存在する可能性があり、1 つの点で表されます。特定の原子の集合は、空間内のどこかの1つの点になります。「アンサンブル」は、そのようなすべての点の集合、つまり、そのようなすべての可能なボックス (無数にある) の集合です。このすべての可能なボックスのアンサンブルが、上記の空間です。 ${\displaystyle w\times l\times h,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle w\times l\times h\times \mathbb {R} ^{3}.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (w\times l\times h)^{N}\times \mathbb {R} ^{3N}.}$${\displaystyle X}$

理想気体の場合、測度はマクスウェル・ボルツマン分布によって与えられます。これは積測度であり、が位置 と速度 を持つ原子の確率である場合、原子については確率はこれらの積です。この測度は集団に適用されると理解されています。したがって、たとえば、集団内の可能なボックスの 1 つには、ボックスの片側にすべての原子があります。この尤度をマクスウェル・ボルツマン測度で計算できます。それは のオーダーと非常に小さくなります。 集団内のすべての可能なボックスのうち、これは途方もなく小さな割合です。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle p_{i}(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})\,d^{3}x\,d^{3}p}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(2^{-3N}\right).}$

これが「非公式な例」である唯一の理由は、遷移関数を書き出すのが難しく、書き出したとしても、それを使って実用的な計算を実行するのが難しいからです。粒子同士の相互作用、たとえばファンデルワールス相互作用や、液体やプラズマに適したその他の相互作用がある場合、困難さはさらに増します。そのような場合、不変の尺度はもはやマクスウェル-ボルツマン分布ではありません。物理学の技巧は、妥当な近似値を見つけることです。 ${\displaystyle T}$

このシステムは、測定保存力学システムの分類から 1 つの重要な概念を示しています。つまり、異なる温度を持つ 2 つの集団は等価ではないということです。特定の標準集団のエントロピーはその温度に依存します。物理システムとして、温度が異なるとシステムも異なることは「明らか」です。これは一般に当てはまります。つまり、エントロピーが異なるシステムは同型ではありません。

上記の非公式な例とは異なり、以下の例は十分に明確に定義され、扱いやすいため、明示的で正式な計算を実行できます。

• μ は単位円上の正規化された角度の測度 dθ/2π であり、T は回転です。等分配定理を参照してください。
• ベルヌーイ方式;
• 区間交換変換;
• 適切な測度の定義により、有限型のサブシフト。
• ランダム動的システムの基本フロー。
• 閉じた連結な滑らかな多様体の接束上のハミルトンベクトル場の流れは、リウヴィルの定理（ハミルトニアン）により測度保存性（シンプレクティック体積形式によってボレル集合に誘導される測度を用いる）を示す。^[1]
• 特定の写像とマルコフ過程に対して、クリロフ・ボゴリュボフの定理は測度保存力学系を形成するための適切な測度の存在を確立します。

測度保存力学系の定義は、T が系のダイナミクスを与えるために反復される単一の変換ではなく、s ∈ Z (または R 、または N ∪ {0}、または [0, +∞)) によってパラメータ化された変換T _s  : X → Xのモノイド(またはグループ、この場合はグループの作用が与えられた確率空間にある)である場合に一般化できます。ここで、各変換T _{s は}上記のTと同じ要件を満たします。^[1]特に、変換は次の規則に従います。

• ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {id} _{X}:X\rightarrow X}$、X上の恒等関数。
• ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{t+s}}$すべての用語が明確に定義されている場合;
• ${\displaystyle T_{s}^{-1}=T_{-s}}$すべての用語が明確に定義されている場合。

以前のより単純なケースは、s ∈ Nに対してT _s = T ^sと定義することでこのフレームワークに適合します。

準同型と同型の概念を定義することができます。

2つの力学系とを考える。すると、写像 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$

${\displaystyle \varphi :X\to Y}$

次の 3 つの性質を満たす場合、それ は力学系の準同型である:

1. 地図は測定可能です。${\displaystyle \varphi \ }$
2. それぞれについて、 が存在します。${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mu (\varphi ^{-1}B)=\nu (B)}$
3. ほぼすべてのについて、 が存在します。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \varphi (Tx)=S(\varphi x)}$

この系はの因数と呼ばれます。 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$

写像が力学系の同型写像である場合、さらに別の写像が存在する。 ${\displaystyle \varphi \;}$

${\displaystyle \psi :Y\to X}$

これも準同型であり、

1. ほとんどすべての場合、1 つあります。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x=\psi (\varphi x)}$
2. ほとんどすべての場合において、 が存在します。${\displaystyle \nu }$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle y=\varphi (\psi y)}$

したがって、力学系とその準同型の カテゴリを形成できる可能性があります。

点x ∈ X は、その点の軌道が測度に従って 一様に分布している場合、一般点と呼ばれます。

力学系を考え、Q = { Q ₁ , ..., Q _k } をXのk 個の測定可能な互いに素な集合への分割とします。点x ∈ Xが与えられたとき、x はQ _iの 1 つにのみ属することは明らかです。同様に、反復点T ⁿ xも、 Q i の 1 つにのみ属することができます。分割Qに関するxの記号名は、次の整数列 { a _n } です。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{n}x\in Q_{a_{n}}.}$

分割に関する記号名の集合は、力学系の記号ダイナミクスと呼ばれます。分割Qは、ほぼすべての点x が一意の記号名を持つ 場合、ジェネレーターまたは生成分割と呼ばれます。

パーティションQ = { Q ₁ , ..., Q _k }と動的システムQのTプルバックを次のように 定義します。${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{-1}Q=\{T^{-1}Q_{1},\ldots ,T^{-1}Q_{k}\}.}$

さらに、2つのパーティション Q = { Q ₁ , ..., Q _k }とR = { R ₁ , ..., R _m }が与えられ、それらの改良を次のように 定義します。

${\displaystyle Q\vee R=\{Q_{i}\cap R_{j}\mid i=1,\ldots ,k,\ j=1,\ldots ,m,\ \mu (Q_{i}\cap R_{j})>0\}.}$

これら2つの構成により、反復プルバックの改良は次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q&=\{Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\\&{}\qquad {\mbox{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}}$

これは、動的システムの測度理論的エントロピーの構築において重要な役割を果たします。

パーティションのエントロピーは次のように定義される^{[2] [3]}${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

${\displaystyle H({\mathcal {Q}})=-\sum _{Q\in {\mathcal {Q}}}\mu (Q)\log \mu (Q).}$

動的システムの分割Q = { Q ₁ , ..., Q _k } に関する測度論的エントロピーは次のように定義される。${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}})=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}}\right).}$

最後に、力学系のコルモゴロフ・シナイ計量または測度論的エントロピーは次のように定義される。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T)=\sup _{\mathcal {Q}}h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}}).}$

ここで、上限はすべての有限の測定可能な分割で取られます。1959 年のYakov Sinaiの定理は、上限は実際には生成子である分割で得られることを示しています。したがって、たとえば、ベルヌーイ過程のエントロピーは log 2 です。これは、ほぼすべての 実数が一意の2 進展開を持つためです。つまり、単位区間を区間 [0, 1/2) と [1/2, 1] に分割できます。すべての実数x は1/2 未満かそうでないかのどちらかであり、2 ⁿ xの小数部分も同様です。

空間Xがコンパクトで位相を備えている場合、または距離空間である場合は、位相エントロピーも定義できます。

がエルゴード的、区分的拡大的、かつ 上でマルコフであり、 がルベーグ測度に関して絶対連続である場合、ロクリン公式^[4]（セクション 4.3 およびセクション 12.3 ^[5]）が成り立ちます。これにより、ロジスティック写像などの多くの区間写像のエントロピーを計算できます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle h_{\mu }(T)=\int \ln |dT/dx|\mu (dx)}$$

エルゴード的とは、 が完全測度またはゼロ測度を持つことを意味します。区分的に拡大すると、 は有限個の開区間への の分割が存在し、各開区間で に対して となることを意味します。マルコフとは、それらの開区間の各 に対して、または となることを意味します。 ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle |T'|\geq 1+\epsilon }$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=\emptyset }$${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=I_{i}}$

測度保存システムの研究における主要な活動の 1 つは、その特性に従って分類することです。つまり、 を測度空間とし、をすべての測度保存システムの集合とします。2つの変換の同型性は 同値関係を定義します。目標は、関係 を記述することです。多くの分類定理が得られていますが、非常に興味深いことに、多くの反分類定理も見つかっています。反分類定理は、同型類が可算数以上存在し、可算量の情報では同型を分類するのに十分ではないと述べています。^{[6] [7]}${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$${\displaystyle S\sim T}$${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset U\times U.}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Hjorth による最初の反分類定理は、 が弱位相を備えている場合、集合 はボレル集合ではないことを述べています。^[8]他にもさまざまな反分類結果があります。たとえば、同型をKakutani 同値に置き換えると、各エントロピー タイプに Kakutani 同値でないエルゴード測度保存変換が無数に存在することが示されます。^[9]${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

これらは分類定理とは対照的です。これには次のものが含まれます。

• 純粋な点スペクトルを持つエルゴード測度保存変換が分類されている。^[10]
• ベルヌーイシフトは計量エントロピーによって分類される。^{[11] [12] [13]詳細については}オルンスタイン理論を参照。

• 不変測度の存在に関するクリロフ・ボゴリュボフの定理
• ポアンカレの再帰定理 – 特定の力学系は最終的には初期状態に戻る（または初期状態に近づく）

• Michael S. Keane、「Ergodic theory and subshifts of finite type」（1991 年）は、 Tim Bedford、Michael Keane、Caroline シリーズ編『Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces』の第 2 章に掲載されています。オックスフォード大学出版局、オックスフォード (1991 年)。ISBN 0-19-853390 -X （演習問題と広範な参考文献を含む解説的な紹介を提供します。） 
• Lai-Sang Young 、「動的システムにおけるエントロピー」(pdf; ps)、第 16 章Entropyに掲載、Andreas Greven、Gerhard Keller、Gerald Warnecke 編、Princeton University Press、Princeton、NJ (2003) 。ISBN 0-691-11338-6 
• T. Schürmann および I. Hoffmann、「n 単体内の奇妙なビリヤードのエントロピー」。J . Phys. A 28(17)、5033 ページ、1995 年。PDF ドキュメント(測度保存動的システムのより複雑な例を示します。)