子午線弧

測地学と航海学において、子午線弧とは、地球の表面上で同じ経度を持つ 2 点間の曲線のことです。この用語は、子午線の一部、またはその長さを指す場合があります。

子午線弧を測定する目的は、地球の形状を決定することです。1 つ以上の子午線弧の測定値を使用して、測定領域内のジオイドに最もよく近似する基準楕円体の形状を推測できます。世界中の多くの子午線に沿ったいくつかの緯度での子午線弧の測定値を組み合わせることで、世界全体に適合する 地心楕円体を近似できます。

球状の地球の大きさを最初に決定するには、単一の円弧が必要でした。19 世紀に始まった正確な測量作業には、測量が行われる地域で複数の円弧の測定が必要となり、世界中で基準楕円体が急増しました。最新の決定では、天体測地測定と衛星測地法を使用して基準楕円体、特に現在WGS 84などのグローバル座標系で使用されている地心楕円体を決定します(数値表現を参照)。

地球の大きさに関する初期の推定は、紀元前4世紀のギリシャと、9世紀のバグダッドのカリフの知恵の館の学者によって記録されている。最初の現実的な値は、紀元前240年頃にアレクサンドリアの科学者エラトステネスによって計算された。彼は、子午線の長さは252,000スタディオンであり、実際の値との誤差は-2.4%から+0.8%の間であると推定した（スタディオンの値が155メートルから160メートルであると想定）。^{[1]エラトステネスは、}地球の測定についてというタイトルの本で彼の手法を説明しているが、この本は保存されていない。同様の方法は、約150年後にポセイドニオスによって使用され、827年にはカリフのアル・マムーンによるものとさ^れる弧測定法によってわずかに良い結果が計算された。^[要出典]

初期の文献では、球体が「極で押しつぶされた」状態にあることを記述するために、扁平回転楕円体という用語が使われていました。現代の文献では、回転楕円体の代わりに回転楕円体という用語が使われていますが、修飾語の「回転楕円体」は通常省略されています。回転楕円体ではない楕円体は、三軸楕円体と呼ばれます。この記事では、回転楕円体と楕円体は互換的に使用され、特に断りがない場合は扁平を意味します。

地球が球体であることは古代から知られていたが、17世紀までには完全な球体ではないという証拠が蓄積されていった。1672年、ジャン・リシェは地球上の重力が一定ではない（地球が球体であればそうなる）という最初の証拠を発見した。彼は振り子時計をフランス領ギアナのカイエンヌに持ち込み、振り子時計が2度遅れていることを発見した。+カイエンヌでは、パリに比べて重力加速度が1日あたり1⁄2分遅いことが 示されています。 ^{[3] [4]これは、カイエンヌの重力}加速度がパリよりも小さいことを示しています。振り子重力計が世界の遠隔地への航海に持ち込まれるようになり、緯度が増すにつれて重力が滑らかに増加し、地理的な極では赤道よりも重力加速度が約0.5％大きいことが徐々に発見されました。

1687年、アイザック・ニュートンはプリンキピアの中で、地球は扁平な球体であり、その扁平率は⁠1/230⁠ ^[5]これにはフランスの科学者全員ではなく一部が異議を唱えた。ジャン・ピカールの子午線弧は 、1684年から1718年にかけてジョヴァンニ・ドメニコ・カッシーニとその息子ジャック・カッシーニによってさらに長い弧に延長された。 ^[6]子午線は少なくとも3回の緯度測定で測定されたため、子午線の北半分と南半分の平均曲率を推定でき、全体の形状を決定できた。その結果、地球は長楕円体（赤道半径が極半径よりも小さい）であることが示された。この問題を解決するために、フランス科学アカデミー（1735年）はペルー（ブーゲ、ルイ・ゴダン、ラ・コンダミーヌ、アントニオ・デ・ウジョア、ホルヘ・フアン）とラップランド（モーペルテュイ、クレロー、カミュ、ル・モニエ、アベ・ウティエ、アンデルス・セルシウス）への探検を実施した。その結果得られた赤道および極緯度の測定により、地球は扁平回転楕円体でモデル化するのが最適であることが確認され、ニュートンの理論が裏付けられた。^[6]しかし、1743年までにクレローの定理がニュートンの理論に完全に取って代わった。

19世紀末までに、ジャン・バティスト・ジョセフ・ドゥランブルは、フランス弧をダンケルクから地中海まで再測定し延長しました（ドゥランブルとメシャンの子午線弧）。これは、4回の中間緯度測定によって5つの部分に分割されました。ペルーの弧の測定値と組み合わせることで、楕円体の形状パラメータが決定され、パリ子午線に沿った赤道と極の間の距離は次のように計算されました。 パリの標準トワズバーで指定されている5 130 762トワズ。この距離を正確に定義すると10 000 000 メートルは、新しい標準メートルバーの構築につながりました。0.513 0762 トワズ。^{[6] : 22}

19世紀には、多くの天文学者や測地学者が、さまざまな子午線に沿った地球の曲率の詳細な研究に取り組んでいました。その分析の結果、プレシス1817、エアリー1830、ベッセル1841、エベレスト1830、クラーク1866など、非常に多くの楕円体モデルが生まれました。^[7]楕円体の包括的なリストは、地球楕円体に記載されています。

歴史的に、海里は球状の地球の子午線に沿った 1 分の弧の長さとして定義されていました。楕円体モデルでは、緯度によって海里が変わります。これは、海里を正確に 1,852 メートルと定義することで解決されました。ただし、実用上は、距離は海図の緯度スケールから測定されます。英国王立ヨット協会が日帰りスキッパー向けのマニュアルで述べているように、「緯度 1 分 = 1 海里」であり、「ほとんどの実用上は、距離は緯度スケールから測定され、緯度 1 分は 1 海里に等しいと仮定します」。^[8]

球面上では、子午線弧の長さは単に円弧の長さです。回転楕円体上では、短い子午線弧の長さは、地球の子午線曲率半径と円弧の定式化を使用して概算できます。より長い弧の場合、長さは、赤道から緯度φの点までの距離である2 つの子午線距離の減算から得られます。これは、地図投影、特に横メルカトル図法の理論における重要な問題です。

楕円体の主なパラメータはa、b、fですが、理論的な作業では、離心率、e、第 3 の扁平率 nなどの追加のパラメータを定義すると便利です。これらのパラメータのうち 2 つだけが独立しており、それらの間には多くの関係があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {ab}{a}}\,,\qquad e^{2}=f(2-f)\,,\qquad n={\frac {ab}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}\,,\\b&=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,,\qquad e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

子午線の曲率半径は次のように表される: ^{[9] [10]}

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{\frac {3}{2}}}}、}$

子午線の無限小要素の弧の長さはdm = M ( φ ) dφ（φはラジアン）である。したがって、赤道から緯度φまでの子午線距離は

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }M(\varphi )\,d\varphi \\&=a(1-e^{2} )\int _{0}^{\varphi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\varphi \,.\end{整列}}}$

距離の式は、パラメトリック緯度で書くとより簡単になります 。

${\displaystyle m(\varphi )=b\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1+e'^{2}\sin ^{2}\beta }}\,d\beta \,,}$

ここでtan β = (1 − f )tan φ、e ′ ² = ⁠²電子/1 − 2^です⁠ .

緯度は通常[− ⁠π/2⁠、⁠π/2⁠ ]、ここで示すすべての公式は、子午線楕円全体（反子午線を含む）の周りの距離の測定に適用されます。したがって、 φ、 β、および補正緯度μの範囲は制限されません。

上記の積分は、第3種の不完全楕円積分の特殊なケースに関連している。オンラインNISTハンドブック^[11]（セクション19.2(ii)） の表記では、

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\,\Pi (\varphi ,e^{2},e)\,.}$

これは第二種の不完全楕円積分で表すこともできる（NISTハンドブックのセクション19.6(iv)を参照）。

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=a\left(E(\varphi ,e)-{\frac {e^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{\sqrt { 1-e^{2}\sin {}^{\!2}\varphi }}}\right)\\&=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right)\\&=bE(\beta ,ie')\,.\end{aligned}}}$

楕円積分と近似値の計算（任意の精度）については、NISTハンドブックでも説明されています。これらの関数は、Mathematica ^[12]やMaxima ^{[13]などのコンピュータ代数プログラムにも実装されています。}

上記の積分は、被積分関数をテイラー級数に展開し、得られた積分を各項ごとに実行し、その結果を三角級数として表すことによって、無限切断級数として表すことができます。1755年に、レオンハルト・オイラーは3番目の離心率の2乗の展開を導きました。^[14]

1799年にデランブル^[15]はe ²の広く使われている展開を導いた。

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {b^{2}}{a}}\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4 \varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\[5mu]D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}-{\tfrac {15}{32}}e^{4}-{\tfrac {525}{1024}}e^{6}-{\tfrac {2205}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\[5mu]D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}+{\tfrac {105}{1024}}e^{6}+{\tfrac {2205}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\[5mu]D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}-{\tfrac {105}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\[5mu]D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}+\cdots .\end{aligned}}}$

リチャード・ラップはこの結果の詳細な導出を行っている。^[16]

離心率の代わりに 第3平坦化 nで展開すると、かなり収束が速い級数が得られる。それらは次のように関係している。

${\displaystyle e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.}$

1837年にフリードリヒ・ベッセルはそのような数列の一つを手に入れたが^[17]、ヘルメルトはそれをより単純な形にまとめた^{[18] [19]。}

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(H_{0}\varphi +H_{2}\sin 2\varphi +H_{4}\sin 4\varphi +H_{6}\sin 6\varphi +H_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

と

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\\H_{2}&=-{\tfrac {3}{2}}n+{\tfrac {3}{16}}n^{3}+\cdots ,&H_{6}&=-{\tfrac {35}{48}}n^{3}+\cdots ,\\H_{4}&={\tfrac {15}{16}}n^{2}-{\tfrac {15}{64}}n^{4}-\cdots ,\qquad &H_{8}&={\tfrac {315}{512}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

aとbが入れ替わるとnの符号が変わるため、また、初期因数が1/2⁠ ( a + b ) がこの交換の下で定数である場合、 H _{2 k}の展開における項の半分は消えます。

この級数は、例えば次のように書き表すと、 aまたはbを最初の因数として 表すことができます。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {a}{1+n}}=a(1-n+n^{2}-n^{3}+n^{4}-\cdots )\,,}$

そして、その結果をnの級数として展開する。この結果、収束が遅くなる級数になるが、このような級数は、国家地理空間情報局^[20]と英国陸地測量局^[21]による横メルカトル図法の仕様で使用されている。

1825年、ベッセル^[22]は測地線に関する研究に関連して、子午線距離をパラメトリック緯度 βで展開した。

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta +B_{8}\sin 8\beta +\cdots \right),}$

と

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots =H_{0}\,,\\B_{2}&=-{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{16}}n^{3}+\cdots ,&B_{6}&=-{\tfrac {1}{48}}n^{3}+\cdots ,\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{16}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B_{8}&=-{\tfrac {5}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

この級数は第2種楕円積分の展開を提供するので、弧の長さを測地緯度で次のように 表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}{\Biggl (}&B_{0}\varphi -B_{2}\sin 2\varphi +B_{4}\sin 4\varphi -B_{6}\sin 6\varphi +B_{8}\sin 8\varphi -\cdots \\[-3mu]&\quad -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}{\Biggr )}.\end{aligned}}}$

上記の級数は、偏心度で 8 次、または 3 次平坦化で 4 次まで、ミリメートル単位の精度を提供します。記号代数システムの助けを借りて、3 次平坦化で 6 次まで簡単に拡張でき、地上アプリケーションで完全な倍精度の精度を提供します。

デランブル^[15]とベッセル^[22]はどちらも、その級数を任意の順序に一般化できる形式で記述した。ベッセル級数の係数は特に簡単に表現できる。

${\displaystyle B_{2k}={\begin{cases}c_{0}\,,&{\text{if }}k=0\,,\\[5px]{\dfrac {c_{k}}{k}}\,,&{\text{if }}k>0\,,\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle c_{k}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(2j-3)!!\,(2j+2k-3)!!}{(2j)!!\,(2j+2k)!!}}n^{k+2j}}$

そしてk !!は、再帰関係によって負の値に拡張された二重階乗です: (−1)!! = 1および(−3)!! = −1。

ヘルマート級数の係数も同様に次のように表される。

${\displaystyle H_{2k}=(-1)^{k}(1-2k)(1+2k)B_{2k}\,.}$

この結果はフリードリヒ・ヘルメルト^[23]によって推測され、川瀬一成^{[24]によって証明された。}

追加の係数(1 − 2 k )(1 + 2 k )は、上記の式に現れる追加の展開から生じ、 βの場合と比較してφに関する級数の収束性が低下します。 ${\displaystyle {\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}}$

上記の三角級数は、クレンショウ和を使って簡単に計算できます。この方法では、ほとんどの三角関数の計算を回避し、級数を迅速かつ正確に合計できます。この手法は、高い相対精度を維持しながら、差m ( φ ₁ ) − m ( φ ₂ )を計算するためにも使用できます。

WGS84楕円体 の長半径と離心率の値を代入すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\left(111\,132.952\,55\,\varphi ^{(\circ )}-16\,038.509\,\sin 2\varphi +16.833\,\sin 4\varphi -0.022\,\sin 6\varphi +0.000\,03\,\sin 8\varphi \right){\mbox{ metres}}\\&=\left(111\,132.952\,55\,\beta ^{(\circ )}-5\,346.170\,\sin 2\beta -1.122\,\sin 4\beta -0.001\,\sin 6\beta -0.5\times 10^{-6}\,\sin 8\beta \right){\mbox{ metres,}}\end{aligned}}}$

ここでφ ⁽ ° ⁾ = ⁠φ/1°⁠ φ は度で表されます（ β ⁽ ° ⁾についても同様です）。

楕円体上では、φ ₁とφ _{2の緯線間の正確な距離は}m ( φ ₁ ) − m ( φ ₂ )である。WGS84では、緯度φの円から ±0.5° にある2つの緯線間の距離Δ mのおおよその式は次のように与えられる。

${\displaystyle \Delta m=(111\,133-560\cos 2\varphi ){\mbox{ metres.}}}$

赤道から極までの距離、四半子午線（四半円に類似）、地球象限とも呼ばれる距離は、

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

これはメートルと海里の歴史的な定義の一部であり、ヘブドメートルの定義にも使用されました。

四半子午線は第二種完全楕円積分で表すことができる。

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=aE(e)=bE(ie').}$

ここで、第 1 および第 2 の離心率です。 ${\displaystyle e,e'}$

四半子午線は、次の一般化された級数によっても与えられます。

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }={\frac {\pi (a+b)}{4}}c_{0}={\frac {\pi (a+b)}{4}}\sum _{j=0}^{\infty }\left({\frac {(2j-3)!!}{(2j)!!}}\right)^{2}n^{2j}\,,}$

（ c ₀の式については、上記の「一般化された級数」のセクションを参照してください。）この結果は、ジェームズ・アイボリーによって初めて得られました。^[25]

WGS84楕円体上の四分の一子午線の数値表現は

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\mathrm {p} }&=0.9983242984312529\ {\frac {\pi }{2}}\ a\\&=10\,001\,965.729{\mbox{ m.}}\end{aligned}}}$

極地の地球の円周は単純に四半子午線の 4 倍です。

${\displaystyle C_{p}=4m_{p}}$

子午線楕円の周囲は、整流円の周囲C _p = 2π M _rの形に書き直すこともできます。したがって、整流地球半径は次のようになります。

${\displaystyle M_{r}=0.5(a+b)/c_{0}}$

それは次のように評価できる。6 367 449 .146メートル。

いくつかの問題では、逆問題を解く必要があります。つまり、 mが与えられたら、 φを決定します。これはニュートン法で繰り返し 解くことができます。

${\displaystyle \varphi _{i+1}=\varphi _{i}-{\frac {m(\varphi _{i})-m}{M(\varphi _{i})}}\,,}$

収束するまで。適切な初期推定値はφ ₀ = μで与えられる。ここで

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}{\frac {m}{m_{\mathrm {p} }}}}$

は偏角緯度です。子午線曲率半径M ( φ )の式を代わりに使用できる ため、 m ( φ )の級数を微分する必要がないことに注意してください。

あるいは、ヘルマートの子午線距離級数を逆算すると次のようになる^{[26] [27]}

${\displaystyle \varphi =\mu +H'_{2}\sin 2\mu +H'_{4}\sin 4\mu +H'_{6}\sin 6\mu +H'_{8}\sin 8\mu +\cdots }$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}H'_{2}&={\tfrac {3}{2}}n-{\tfrac {27}{32}}n^{3}+\cdots ,&H'_{6}&={\tfrac {151}{96}}n^{3}+\cdots ,\\H'_{4}&={\tfrac {21}{16}}n^{2}-{\tfrac {55}{32}}n^{4}+\cdots ,\qquad &H'_{8}&={\tfrac {1097}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

同様に、 βに関するmのベッセル級数は次のように変形できる^[28]

${\displaystyle \beta =\mu +B'_{2}\sin 2\mu +B'_{4}\sin 4\mu +B'_{6}\sin 6\mu +B'_{8}\sin 8\mu +\cdots ,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}B'_{2}&={\tfrac {1}{2}}n-{\tfrac {9}{32}}n^{3}+\cdots ,&B'_{6}&={\tfrac {29}{96}}n^{3}-\cdots ,\\B'_{4}&={\tfrac {5}{16}}n^{2}-{\tfrac {37}{96}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B'_{8}&={\tfrac {539}{1536}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

アドリアン・マリー・ルジャンドルは、回転楕円体上の測地線に沿った距離は、楕円の周囲に沿った距離と同じであることを示した。^[29]このため、上記で示したβによるmの表現とその逆は、 m を測地線に沿った距離sに、β を補助球面上の弧の長さσに置き換えた上で、測地線問題の解決において重要な役割を果たしている。^{[22] [30]} 6 次まで拡張された必要な級数は、チャールズ・カーニーによって与えられている。 ^[31]式 (17) と (21) では、ε がnの役割を果たし、τ がμの役割を果たしている。

• さまざまな測地基準楕円体上の子午線弧のオンライン計算