微積分学 では、 実変数の 実 数値 関数 f の 片側微分可能性 と 半微分可能性 の概念は、 微分可能性 よりも弱い。具体的には、大まかに言えば、関数の引数 x が 右からa に動くことで 導関数 を定義できる場合、 関数 fは点 aで 右微分可能 であると言われ、導関数 x が 左から a に 動くこと で 定義できる場合、関数 f は 点 aで 左微分可能で ある と言われる。
1次元の場合 この関数はマークされた点では連続して いないため、その点では導関数を持ちません 。ただし、すべての点で右導関数を持ち、 常に 0 になります。
∂
+
ふ （ 1つの ）
{\displaystyle \partial _{+}f(a)}
数学 において 、 左微分 と 右微分は、関数の引数によって一方向（左または右、つまり、より低い値またはより高い値）への動きに対して定義される 微分 （関数の変化率）
です。
定義 f は 実数の
サブセット I 上で定義された実数値関数を表すものと します。
a ∈ Iが I ∩ [ a ,∞) の 極限点 であり 、 片側 極限
∂
+
ふ （ 1つの ） :=
リム
x →
1つの
+
x ∈ 私
ふ （ x ） − ふ （ 1つの ）
x − 1つの
{\displaystyle \partial _{+}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{+} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}}
が実数として存在する場合、 f は a で 右微分可能 と呼ばれ 、極限 ∂ + f ( a ) は a における f の 右微分 と呼ばれます 。
a ∈ Iが I ∩ (–∞, a ] の極限点であり 、 片側極限
∂
−
ふ （ 1つの ） :=
リム
x →
1つの
−
x ∈ 私
ふ （ x ） − ふ （ 1つの ）
x − 1つの
{\displaystyle \partial _{-}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{-} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}}
が実数として存在する場合、 f は a で 左微分可能 と呼ばれ 、極限 ∂ – f ( a ) は a における f の 左微分 と呼ばれます 。
a ∈ I が I ∩ [ a ,∞) かつ I ∩ (–∞, a ] の極限点であり 、 f が a で左微分および右微分可能である場合 、 f は a で 半 微分 可能で あるといいます 。
左導関数と右導関数が等しい場合、それらは通常の（「双方向」）導関数と同じ値を持ちます。また、左右の導関数の 算術平均 に等しい 対称導関数 を定義することもできます（両方が存在する場合）。そのため、通常の導関数が存在しない場合でも対称導関数が存在する可能性があります。 [1]
注釈と例 関数が その 定義域の 内点 a で 微分可能であるのは、関数が a で半微分可能であり 、左微分が右微分に等しい場合のみです。 微分不可能な半微分可能関数の例としては、 a = 0 における 絶対値 関数がある。簡単に
ふ （ x ） =
|
x
|
{\displaystyle f(x)=|x|}
∂
−
ふ （ 0 ） = − 1 、
∂
+
ふ （ 0 ） = 1.
{\displaystyle \partial _{-}f(0)=-1,\partial _{+}f(0)=1.}
関数が点 a で半微分可能である場合、それは関数が 点 a で連続であることを意味します。 指示 関数 1 [0,∞) は、任意の実数 a で右微分可能ですが、ゼロで不連続です (この指示関数はゼロで左微分可能ではないことに注意してください)。
応用 実数値の微分可能関数 f が実数直線の 区間 I上で定義され、どこでも導関数がゼロである場合、 平均値定理を適用することでわかるように、関数 f は定数です。微分可能性の仮定は、 f の連続性と片側微分可能性に弱めることができます 。右微分可能関数のバージョンを次に示します。左微分可能関数のバージョンは類似しています。
定理 — 実数値の 連続関数 f を、実数直線上の 任意の 区間 I 上で定義します。 fが区間の 上限 ではないすべての点 a ∈ I で右微分可能であり 、この右導関数が常にゼロである場合、 f は 定数 です 。
証拠 背理法による証明 では、 I に a < bが 存在し、 f ( a ) ≠ f ( b ) であると仮定します 。すると、
ε :=
|
ふ （ b ） − ふ （ 1つの ）
|
2 （ b − 1つの ）
> 0.
{\displaystyle \varepsilon :={\frac {|f(b)-f(a)|}{2(ba)}}>0.}
cを 区間 ( a , b ] 内の全ての xの 最小値 として 定義し 、 f の 差商 の絶対値が
εを 超える。つまり、
c = 無限大 { x ∈ （ 1つの 、 b ] ∣
|
ふ （ x ） − ふ （ 1つの ）
|
> ε （ x − 1つの ） } 。
{\displaystyle c=\inf\{\,x\in (a,b]\mid |f(x)-f(a)|>\varepsilon (xa)\,\}.}
f の連続性により、 c < b かつ
| f ( c ) – f ( a ) | = ε ( c – a ) となる 。 cでは f の右微分は仮定によりゼロとなるため、 区間 ( c , b ] に d が 存在し、 すべて の x に対して | f ( x ) – f ( c ) | ≤ ε ( x – c ) となる 。したがって、 三角 不等式 により 、
|
ふ （ x ） − ふ （ 1つの ）
|
≤
|
ふ （ x ） − ふ （ c ）
|
+
|
ふ （ c ） − ふ （ 1つの ）
|
≤ ε （ x − 1つの ）
{\displaystyle |f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(c)|+|f(c)-f(a)|\leq \varepsilon (xa)}
すべての x は [ c , d ) の 範囲内にあり、これは c の定義と矛盾します 。
左または右に作用する微分演算子 もう一つの一般的な用法は、 二項演算子として扱われる導関数を 中置記法 で記述することである。この場合、導関数は左または右の オペランド のいずれかに適用される 。これは、例えば、 ポアソン括弧 の一般化を定義するときに役立つ。関数fとgのペアに対して、左導関数と右導関数はそれぞれ次のように定義される。
ふ
∂
x
←
グ =
∂ ふ
∂ x
⋅ グ
{\displaystyle f{\stackrel {\leftarrow}{\partial _{x}}}g={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g}
ふ
∂
x
→
グ = ふ ⋅
∂ グ
∂ x
。
{\displaystyle f{\stackrel {\rightarrow}{\partial _{x}}}g=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.}
ブラケット記法 では 、微分演算子は右オペランドに対して通常の微分として作用することも、左オペランドに対して負の微分として作用することもできます。 [2]
高次元の場合 この上の定義は、方向微分 の弱いバージョンを使用して、 R n の部分集合上で定義された 実 数値関数 fに 一般 化できます。 a を f の定義域の内点とします 。 この とき 、 すべて の 方向 u ∈ R n に対して、 極限が
∂
あなた
ふ （ 1つの ） =
リム
h →
0
+
ふ （ 1つの + h あなた ） − ふ （ 1つの ）
h
{\displaystyle \partial _{u}f(a)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h\,u)-f(a)}{h}}}
R は 実数として存在します。
h ∈
{\displaystyle h\in}
したがって、半微分可能性は、 h を 正の値のみに
制限せずに h → 0 を 超える極限を考慮する ガトー微分可能性 よりも弱いです。
例えば、関数は では半微分可能である が、ガトー微分可能ではない。実際
、
ふ （ x 、 ええ ） =
x
2
+
ええ
2
{\displaystyle f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
（ 0 、 0 ）
{\displaystyle (0,0)}
ふ （ h x 、 h ええ ） =
|
h
|
ふ （ x 、 ええ ）
そして
h ≥ 0 、 ふ （ h x 、 h ええ ） = h ふ （ x 、 ええ ） 、 ふ （ h x 、 h ええ ）
/
h = ふ （ x 、 ええ ） 、
{\displaystyle f(hx,hy)=|h|f(x,y){\text{ および }}h\geq 0,f(hx,hy)=hf(x,y),f(hx, hy)/h=f(x,y),}
1つの = 0 、 あなた = （ x 、 ええ ） 、
∂
あなた
ふ （ 0 ） = ふ （ x 、 ええ ）
{\displaystyle a=0,u=(x,y),\partial _{u}f(0)=f(x,y)}
(この一般化は、片側極限点の概念がより強い内部点の概念に置き換えられているため、
n = 1 の元の定義と同じではないことに注意してください。)
プロパティ R n の 凸開部分集合 上の任意 の 凸関数は 半微分可能である。 1 つの変数のすべての半微分可能関数は連続ですが、これは複数の変数の場合は当てはまりません。
一般化 実数値関数の代わりに、 R n または バナッハ空間 内の値を取る関数を考えることができます。
参照
参考文献
^ Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable . Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0 。 ^ ディラック、ポール (1982) [1930]. 量子力学の原理 . 米国: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0198520115 。
Preda, V.; Chiţescu, I. (1999). 「多目的最適化問題における制約条件の認定について: 半微分可能なケース」. J. Optim. Theory Appl . 100 (2): 417–433. doi :10.1023/A:1021794505701. S2CID 119868047. 
![{\displaystyle c=\inf\{\,x\in (a,b]\mid |f(x)-f(a)|>\varepsilon (xa)\,\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd30ac16e7b38771acee93a6b6a64767cac5e808)
