平均値の定理（差分の分割）

数学解析において、分割差分の平均値の定理は、平均値の定理を高階導関数に一般化したものである。 ^{[ 1 ]}

n回微分可能な関数 f の定義域内の任意のn  +  1 個の互いに異なる点x ₀ ,  ..., x _nに対して、内部点が存在する。 

${\displaystyle \xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})\,}$

ここで、fのn階導関数は、これらの点においてn !倍のn階差分に等しい。

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

n  =  1、つまり2つの関数点の場合、単純な平均値の定理が得られます。

させて${\displaystyle P}$fのx ₀、...、x _nにおけるラグランジュ補間多項式を とします。すると、ニュートン形式から次のことが導かれます。  ${\displaystyle P}$最高次の項${\displaystyle P}$は${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]x^{n}}$。

させて${\displaystyle g}$補間の残りの部分であり、次のように定義される。${\displaystyle g=fP}$。 それから${\displaystyle g}$もっている${\displaystyle n+1}$零点: x ₀、 ...、x _n 。まずロルの定理を適用して ${\displaystyle g}$それから${\displaystyle g'}$などなど${\displaystyle g^{(n-1)}}$すると、${\displaystyle g^{(n)}}$ゼロを持っています${\displaystyle \xi }$これはつまり

${\displaystyle 0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!}$、

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

この定理を用いることで、ストラルスキー平均を2つ以上の変数に一般化することができる。