マシュー関数

数学において、マシュー関数（マシュー関数とも呼ばれる）は、マシューの微分方程式の解である。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(a-2q\cos(2x))y=0,}$

ここで、a、qは実数値パラメータです。qの符号を変更するためにxにπ/2を加えることがあるため、 q ≥ 0に設定するのが通常の慣例です。

これらは、振動する楕円形のドラムヘッドを研究しているときに遭遇したエミール・レオナール・マチューによって初めて導入されました。^{[1] [2] [3]これらは、}光学、量子力学、一般相対性理論など、物理科学の多くの分野で応用されています。これらは、周期運動を含む問題や、楕円対称性を持つ偏微分方程式（PDE）境界値問題の解析で発生する傾向があります。^[4]

いくつかの用法では、マシュー関数は、およびの任意の値に対するマシュー微分方程式の解を指します。混乱が生じない場合、他の著者は、およびの特定の値に対してのみ存在する- または-周期解を特に指してこの用語を使用します。^[5]より正確には、与えられた（実数）に対して、そのような周期解は、 の無限の数の値に対して存在し、特性数と呼ばれ、に対して、2つの別々の数列およびとして慣例的にインデックス付けされます。対応する関数は、それぞれ、およびと表されます。これらは、コサイン楕円型およびサイン楕円型、または第1種のマシュー関数と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{n}(q)}$${\displaystyle b_{n}(q)}$${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

が実数であると仮定すると、特性数とそれに関連する関数は両方とも実数値となる。^[6]${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$は、さらに偶奇性と周期性（ともに に関して）によって次のように分類できる：^[5]${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle x}$

整数 によるインデックスは、特性数を昇順に並べるのに役立つほか、と がおよびに比例する点で便利です。 が整数であるため、とは整数位の Mathieu 関数 (第 1 種) として分類されます。一般の および については、分数位の Mathieu 関数や非周期解など、これら以外の解も定義できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle \cosnx}$${\displaystyle \sinnx}$${\displaystyle q\rightarrow 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$

これに密接に関連しているのが、マシューの修正微分方程式の解である修正マシュー関数（ラジアルマシュー関数とも呼ばれる）である。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

これは、 とすることで元のマシュー方程式と関連付けることができます。したがって、 および で表される第1種の積分順序の修正マシュー関数は、^[7]から定義されます。${\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x}$${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}}x,q).\end{aligned}}}$

これらの関数は、 が実数の場合に実数値になります。 ${\displaystyle x}$

この論文全体を通して採用される 一般的な標準化^[8]は、

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi }$

および も必要です。 ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$${\displaystyle q\rightarrow 0}$

マシュー微分方程式の多くの性質は、フロケ理論と呼ばれる周期係数を持つ常微分方程式の一般理論から導き出すことができます。中心的な結果はフロケの定理です。

特性数を、となるような値と関連付けるのは自然なことです。^[10]ただし、この定理は、 を満たす少なくとも 1 つの解の存在を保証するだけであり、実際にはマシュー方程式は任意の 、 に対して 2 つの独立した解を持ちます。実際、 が特性数の 1 つに等しい場合、マシュー方程式には 1 つの周期解 (つまり、周期または) しかなく、この解は、のいずれかであることがわかります。もう 1 つの解は非周期的で、それぞれ およびで表され、第 2 種のマシュー関数と呼ばれます。^{[11]この結果は、正式には}インスの定理として述べることができます。 ${\displaystyle a(q)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma =\pm 1}$${\displaystyle y(x+\pi )=\sigma y(x)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$

フロケの定理と同等のことは、マシューの方程式が次のような複素数値解を持つということである。

${\displaystyle F(a,q,x)=\exp(i\mu \,x)\,P(a,q,x),}$

ここで、は複素数、フロケ指数（またはマシュー指数）であり、 は周期で周期的な複素数値関数です。例を右にプロットします。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle P(a,q,x)}$

マシュー方程式には 2 つのパラメータがあります。これらのパラメータのほとんどすべての選択において、フロケ理論によれば、すべての解はゼロに収束するか、無限大に発散します。

マシュー方程式が（ ）としてパラメータ化されている場合、安定領域と不安定領域は次の曲線によって分離されます。^[13]${\displaystyle {\ddot {x}}+k(1-m\cos(t))x=0}$${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,m\geq 0}$

$${\displaystyle m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}}}<k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}}}k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}}$$

マシュー方程式は2階微分方程式なので、2つの線形独立な解を構築できる。フロケの理論によれば、が特性数に等しい場合、これらの解の1つは周期的、もう1つは非周期的とすることができる。周期的な解は、およびのいずれかであり、第1種積分位数のマシュー関数と呼ばれる。非周期的な解は、それぞれおよびで示され、第2種（積分位数）のマシュー関数と呼ばれる。非周期的な解は不安定であり、 として発散する。^[14]${\displaystyle a}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$

修正されたマシュー関数およびに対応する2番目の解は、自然におよびとして定義されます。 ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)}$${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}$

マシュー関数の分数階数は、非整数の解およびがおよびになるものとして定義できます。^[7]が無理数の場合、それらは非周期的ですが、 として有界のままです。 ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \cospx}$${\displaystyle \sinpx}$${\displaystyle q\rightarrow 0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

非整数の場合の解との重要な特性は、の同じ値に対してこれらが存在することです。対照的に、が整数の場合、は同じ値に対して と は決して発生しません。(上記のインスの定理を参照。) ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$${\displaystyle a}$

これらの分類は以下の表にまとめられています。修正された Mathieu 関数の対応するものも同様に定義されています。

第一種マシュー関数はフーリエ級数として表すことができる：^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}}$

展開係数と はの関数であるが とは独立である。マシュー方程式に代入すると、これらは下側の指数で3項再帰関係に従うことが示される。例えば、それぞれについて[ ^16]${\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$${\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}}$

指数 の2次回帰なので、常に2つの独立した解とを見つけることができ、一般解は2つの線形結合として表すことができます。さらに、この特定のケースでは、漸近解析^[17]により、基本解の1つの可能な選択肢が次の性質を持つことが示されています。 ${\displaystyle 2r}$${\displaystyle X_{2r}}$${\displaystyle Y_{2r}}$${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}$

特に、は有限であるのに対し、 は発散します。 と書くと、 のフーリエ級数表現が収束するためには、 が となるように選ばれなければならないことがわかります。のこれらの選択は、特性数に対応します。 ${\displaystyle X_{2r}}$${\displaystyle Y_{2r}}$${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c_{2}=0.}$${\displaystyle a}$

しかし、一般に、可変係数の 3 項漸化式の解は単純な方法では表すことができないため、条件 から を 決定する簡単な方法はありません。さらに、特性数の近似値がわかっていても、が増加する方向に数値的に反復して係数を取得するために使用することはできません。その理由は、 が特性数を近似するだけである限り、は同一ではなく、十分に大きい に対して最終的に発散解が優勢になるためです。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle c_{2}=0}$${\displaystyle A_{2r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle Y_{2r}}$${\displaystyle r}$

これらの問題を克服するためには、より洗練された半解析的/数値的アプローチが必要である。例えば、連分数展開^{[18] [5]}の使用、再帰を行列固有値問題として扱うこと^[19] 、または後方再帰アルゴリズムを実装すること^[17]などである。3項再帰関係の複雑さは、マシュー関数を含む単純な式や恒等式がほとんど存在しない理由の1つである。^[20]

実際には、マシュー関数とそれに対応する特性数は、Mathematica、Maple、MATLAB、SciPyなどのパッケージ化されたソフトウェアを使用して計算できます。 の値が小さく、次数が低い場合は、のべき級数として摂動的に表現することもでき、これは物理的な応用に役立ちます。^[21]${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$

第二種マシュー関数を表現する方法はいくつかある。^{[22]一つの表現法は}ベッセル関数である: ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}}$

ここで、、およびは第 1 種および第 2 種のベッセル関数です。 ${\displaystyle n,q>0}$${\displaystyle J_{r}(x)}$${\displaystyle Y_{r}(x)}$

修正マシュー関数の数値評価の伝統的なアプローチは、ベッセル関数の積級数によるものである。^[24]とが大きい場合、減算誤差を避けるために級数の形式を慎重に選択する必要がある。^{[25] [26]}${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$

マシュー関数に関する解析的表現や恒等式は比較的少ない。さらに、他の多くの特殊関数とは異なり、マシュー方程式の解は一般に超幾何関数で表現することはできない。これは、変数変換を使用してマシュー方程式を代数形式に変換することでわかる。 ${\displaystyle t=\cos(x)}$

${\displaystyle (1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.}$

この方程式は無限遠に不規則な特異点を持つため、超幾何型の方程式に変換することはできない。^[20]

が小さい場合、、およびは、およびと同様に動作します。任意の の場合、それらは三角関数の対応するものから大幅に逸脱する可能性がありますが、一般に周期性を保ちます。さらに、任意の実数 の場合、、およびは においてちょうど単純な零点を持ち、零点は の周りに密集しています。^{[27] [28]}${\displaystyle q}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$${\displaystyle \cos nx}$${\displaystyle \sin nx}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0<x<\pi }$${\displaystyle q\rightarrow \infty }$${\displaystyle x=\pi /2}$

および の場合、修正されたマシュー関数は減衰周期関数として動作する傾向があります。 ${\displaystyle q>0}$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

以下では、およびのフーリエ展開からのおよび因子を参照する場合があります (明示的な表現と計算を参照)。これらは および に依存しますが、とは独立しています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

およびは、そのパリティと周期性により、の 倍数による反射および平行移動に対して単純な性質を持つ：^[7]${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

負の関数を正の関数で表すこともできる：^{[5] [29]}${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

さらに、

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}$

三角関数の やと同様に、周期マシュー関数と は直交関係を満たす。 ${\displaystyle \cos nx}$${\displaystyle \sin nx}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}}$

さらに、固定され、が固有値として扱われると、マシュー方程式はシュトゥルム・リウヴィル形式となる。これは、固有関数とが完全な集合を形成すること、すなわち、の任意の- または -周期関数が、およびの級数として展開できることを意味している。^[4]${\displaystyle q}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

マシュー方程式の解は、次の解である 核 に関して積分恒等式のクラスを満たす。${\displaystyle \chi (x,x')}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$

より正確には、がと を与えられた状態でマシュー方程式を解く場合、積分 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'}$

ここで は複素平面上の経路であり、次の条件が満たされる場合、同じ および を持つマシュー方程式も解きます。 ^[30]${\displaystyle C}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle \chi (x,x')}$解決する${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• 検討中の地域には存在し、分析的である${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \chi (x,x')}$
• ${\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)}$の端点で同じ値を持ちます${\displaystyle C}$

適切な変数変換を用いると、 の方程式は波動方程式に変換され、解くことができる。例えば、1つの解は である。この方法で得られる恒等式の例は^{[31]である。}${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}}$

後者のタイプの恒等式は、修正マシュー関数の漸近的性質を研究するのに有用である。^[32]

第一種関数と第二種関数の間にも積分関係が存在する。例えば、次の通りである。^[23]

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

任意の複素数および実数に対して有効です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle q}$

、、、およびに対して次の漸近展開が成り立つ：^[33]${\displaystyle q>0}$${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$${\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty }$${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

したがって、修正されたマシュー関数は、大きな実引数に対して指数的に減少します。およびに対しても同様の漸近展開を書くことができます。これらも、大きな実引数に対して指数的に減少します。 ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}}$${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}}$

偶数および奇数の周期マシュー関数とそれに関連する特性数に対して、 大きな に対する漸近展開を導くこともできる。^[34]特に特性数に対しては、近似的に奇数の整数、すなわち${\displaystyle ce,se}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{aligned}}}$

ここで、およびをおよびに置き換える対称性に注目してください。これは、展開の重要な特徴です。この展開の項は、次数の項まで明示的に得られています。^[35] ここで、は近似的に奇数です。これは、 の極限では、周期的ポテンシャルのすべての最小セグメントが実質的に独立した調和振動子になるからです（したがって、奇数です）。 を減少させることにより、障壁をトンネルすることが可能になり（物理的な言葉で）、偶数および奇数の周期マシュー関数に対応する特性数（量子力学では固有値と呼ばれる）が分割されます。この分割は境界条件によって得られます^[35]（量子力学では、これにより固有値がエネルギーバンドに分割されます）。^[36]境界条件は次のとおりです。 ${\displaystyle q^{1/2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle -q^{1/2}}$${\displaystyle -N}$${\displaystyle |q|^{-7/2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle q\to \infty }$${\displaystyle \cos 2x}$${\displaystyle N_{0}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle a\to a_{\mp }}$

${\displaystyle \left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.}$

これらの境界条件を上記の展開に関連する漸近周期マシュー関数に適用すると、次式が得られる。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].}$

対応する特性数または固有値は、展開すると次のようになる。すなわち、

${\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .}$

上記の適切な式を挿入すると、次の結果が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}}$

これらは、偶数マシュー固有関数または（すなわち、上側にマイナス記号）および奇数マシュー固有関数または （すなわち、下側にプラス記号）に関連付けられた固有値です。固有関数の明示的かつ正規化された展開は、 ^{[35]または[36]}に記載されています。${\displaystyle N_{0}=1,3,5,\dots }$${\displaystyle ce_{N_{0}}}$${\displaystyle ce_{N_{0}-1}}$${\displaystyle se_{N_{0}+1}}$${\displaystyle se_{N_{0}}}$

ラメ関数や長楕円体波動関数、扁平楕円体波動関数などの他の周期微分方程式の解についても同様の漸近展開が得られます。

マシューの微分方程式は、工学、物理学、応用数学の幅広い分野で登場します。これらの応用の多くは、1) 楕円幾何学における偏微分方程式の解析、および 2) 空間または時間のいずれかで周期的な力を伴う動的問題という 2 つの一般的なカテゴリのいずれかに分類されます。両方のカテゴリの例については、以下で説明します。

マシュー関数は、楕円座標における変数の分離が、1) 3次元のラプラス方程式、および2) 2次元または3次元のヘルムホルツ方程式に適用されたときに発生します。ヘルムホルツ方程式は古典波の空間的変化をモデル化するプロトタイプ方程式であるため、マシュー関数はさまざまな波動現象を記述するために使用できます。たとえば、計算電磁気学では、楕円柱からの電磁波の散乱や楕円導波管内の波動伝播を解析するために使用できます。^[37]一般相対性理論では、アインシュタイン場の方程式の正確な平面波解は、マシュー関数によって与えることができます。

最近では、マシュー関数は、自己推進粒子の定常統計を記述するスモルホフスキー方程式の特殊なケースを解くために使用されています。^[38]

この節の残りの部分では、2次元ヘルムホルツ方程式の解析について詳しく述べる。^[39]直交座標では、ヘルムホルツ方程式は

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,}$

楕円座標は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}}$

ここで、、、は正の定数である。これらの座標におけるヘルムホルツ方程式は ${\displaystyle 0\leq \mu <\infty }$${\displaystyle 0\leq \nu <2\pi }$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

定数曲線は焦点距離を持つ共焦点楕円である。したがって、これらの座標は楕円境界を持つ領域上のヘルムホルツ方程式を解くのに便利である。 による変数分離により、マシュー方程式が得られる。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}}$

ここで、は分離定数です。 ${\displaystyle a}$

具体的な物理的例として、ヘルムホルツ方程式は、均一な張力を受ける弾性膜の通常モードを記述するものと解釈することができる。この場合、以下の物理的条件が課される：^[40]

• に関する周期性、すなわち${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )}$
• 焦点間線を横切る変位の連続性:${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• 焦点間線を横切る導関数の連続性:${\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )}$

が与えられた場合、解はおよび（ただし ）の形式に制限されます。これは、 が与えられた場合の の許容値を制限することと同じです。 に対する制限は、 によって定義される楕円境界など、何らかの境界面に物理的条件を課すことによって生じます。たとえば、膜を に固定すると が課され、次に が必要になります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)}$${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/4}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu =\mu _{0}>0}$${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$${\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}}$

これらの条件はシステムの通常モードを定義します。

周期的に変化する力を伴う力学問題では、運動方程式はマシュー方程式の形をとることがあります。そのような場合、マシュー方程式の一般的な性質、特に解の安定性に関する知識は、物理的力学の質的特徴を理解するために不可欠です。^{[41]この方向の古典的な例は}倒立振り子です。^[42]他の例としては 、

• 周期的に変化する張力を持つ弦の振動^[41]
• 列車が走行する際の鉄道レールの安定性
• 季節的に強制される人口動態
• 強制振動子におけるパラメトリック共振現象
• 四重極イオントラップ内のイオンの運動^[43]
• 回転する電気双極子のシュタルク効果
• リミットサイクルの安定性に関するフロケ理論

マシュー関数は、量子振り子や結晶格子などの空間的に周期的なポテンシャルを持つ特定の量子力学システムで役割を果たします。

修正マシュー方程式は、特異ポテンシャルの量子力学を記述する際にも現れる。特定の特異ポテンシャルに対して、ラジアルシュレーディンガー方程式は${\displaystyle V(r)=g^{2}/r^{4}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0}$

は、次の式に変換できる。

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.}$

変換は以下の置換によって達成される。

${\displaystyle y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.}$

シュレーディンガー方程式（この特定のポテンシャルについて）を修正マシュー方程式の解で解くことによって、S行列や吸収率などの散乱特性を得ることができます。^[44]

• ほぼマシュー演算子
• ベッセル関数
• ヒル微分方程式
• 倒立振り子
• ラメ機能
• 数学関数のリスト
• 単色電磁平面波

• ワイスタイン、エリック W.「マシュー関数」。マスワールド。
• Mathieu 関数の方程式と恒等式のリスト functions.wolfram.com
• 「マシュー関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ティモシー・ジョーンズ『マシューの方程式と理想的な rf-ポールトラップ』（2006 年）
• マシュー方程式、EqWorld
• NIST 数学関数デジタルライブラリ: マシュー関数とヒル方程式