数学的形態学

数学的形態学( MM ) は、集合論、格子理論、位相幾何学、ランダム関数に基づいた、幾何学的構造の分析と処理のための理論と技術です。 MM はデジタル画像に最もよく適用されますが、グラフ、表面メッシュ、立体、その他多くの空間構造 にも適用できます。

サイズ、形状、凸性、接続性、測地距離などの位相的および幾何学的な 連続空間の概念は、連続空間と離散空間の両方で MM によって導入されました。 MM は、上記の特性に従って画像を変換する一連の演算子で構成される 形態学的画像処理の基礎でもあります。

基本的な形態学的演算子は、収縮、膨張、開始、および終了です。

MM はもともと2 値画像用に開発され、その後グレースケール 関数と画像に拡張されました。その後の完全格子への一般化は、今日では MM の理論的基礎として広く受け入れられています。

数学的形態学は、1964年にフランスのパリ鉱業学校のジョルジュ・マテロンとジャン・セラの共同研究によって開発されました。マテロンは、薄い断面から鉱物の特性を定量化するセラの博士論文を指導し、この研究は新しい実用的なアプローチと、積分幾何学と位相幾何学の理論的進歩をもたらしました。

1968 年、フランスのフォンテーヌブローにあるエコール デ マインズ ド パリによって、マテロンとセラが率いる 形態数学センターが設立されました。

1960 年代の残りと 1970 年代の大半、MM は基本的にバイナリ画像をセットとして扱い、ヒット オア ミス変換、膨張、浸食、オープニング、クロージング、粒度分布、細線化、スケルトン化、極限浸食、条件付き二等分線など、多数のバイナリ演算子とテクニックを生み出しました。新しい画像モデルに基づくランダム アプローチも開発されました。その時期の研究のほとんどはフォンテーヌブローで開発されました。

1970 年代半ばから 1980 年代半ばにかけて、MM はグレースケール関数と画像にも一般化されました。拡張、浸食などの主要概念を関数に拡張するだけでなく、この一般化により、形態学的勾配、トップハット変換、ウォーターシェッド(MM の主なセグメンテーション手法) などの新しい演算子が生まれました。

1980 年代から 1990 年代にかけて、いくつかの国の研究センターがこの手法を採用し、研究し始めたため、MM はより広く認知されるようになりました。MM は、特にノイズの多い画像の非線形フィルタリングの分野において、多数の画像処理の問題やアプリケーションに適用されるようになりました。

1986年、セラはMMをさらに一般化し、今度は完全な格子に基づく理論的枠組みにしました。この一般化により理論に柔軟性がもたらされ、カラー画像、ビデオ、グラフ、メッシュなど、はるかに多くの構造に適用できるようになりました。同時に、マセロンとセラは新しい格子フレームワークに基づいて、 形態学的フィルタリングの理論も策定しました。

1990 年代と 2000 年代には、接続とレベル化の概念を含むさらなる理論的進歩も見られました。

1993年、最初の国際数学形態学シンポジウム（ISMM）がスペインのバルセロナで開催されました。それ以来、ISMMは2～3年ごとに開催されています。フランスのフォンテーヌブロー（1994年）、アメリカのアトランタ（1996年） 、オランダのアムステルダム（1998年）、アメリカのカリフォルニア州パロアルト（2000年） 、オーストラリアのシドニー（2002年）、フランスのパリ（2005年）、ブラジルのリオデジャネイロ（2007年）、オランダのフローニンゲン（2009年）、イタリアのイントラ（ヴェルバニア）（2011年）、スウェーデンのウプサラ（ 2013年） 、アイスランドのレイキャビク（2015年）、フランスのフォンテーヌブロー（2017年）、ドイツのザールブリュッケン（2019年）です。^[1]

• ピエール・ソイユ著「序論」（Serra et al. (Eds.) 1994）、pgs. 1-4.
• 「付録 A: 'Centre de Morphologie Mathématique'、概要」Jean Serra 著、(Serra et al. (Eds.) 1994)、pgs. 369-374。
• 「序文」（Ronse et al. (Eds.) 2005）

バイナリ形態学では、画像は、ある次元dのユークリッド空間または整数グリッドのサブセットとして見られます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

バイナリ形態学の基本的な考え方は、画像を単純な定義済みの形で調査し、その形状が画像内の形状にどの程度適合するか、あるいは適合しないかを結論付けることです。この単純な「調査」は構造要素と呼ばれ、それ自体がバイナリ画像 (つまり、空間またはグリッドのサブセット) です。

以下に、広く使用されている構造要素（Bで示される）の例をいくつか示します。

• B は原点を中心とする半径rの開円板であるとします。${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{2}}$
• Bは 3 × 3 の正方形、つまりB = { (−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1)} とします。${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{2}}$
• B は、B = {(−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, 0)}で与えられる「交差」であるとします。${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{2}}$

基本的な演算は、ミンコフスキー加算に強く関連するシフト不変（変換不変）な演算子です。

E をユークリッド空間または整数グリッドとし、A をE内のバイナリ画像とします。

構造要素Bによるバイナリ画像Aの侵食は次のように定義される。

${\displaystyle A\ominus B=\{z\in E|B_{z}\subseteq A\},}$

ここで、B _zはベクトルzによるBの変換、つまり、 です。 ${\displaystyle B_{z}=\{b+z\mid b\in B\}}$${\displaystyle \forall z\in E}$

構造要素Bに中心があり（たとえば、Bが円盤または正方形）、この中心がEの原点にある場合、BによるAの浸食は、 B がA内を移動するときにBの中心が到達する点の軌跡として理解できます。たとえば、原点を中心とする一辺が 10 の正方形を、同じく原点を中心とする半径 2 の円盤で浸食すると、原点を中心とする一辺が 6 の正方形になります。

AのBによる侵食も次の式で表されます。 ${\displaystyle A\ominus B=\bigcap _{b\in B}A_{-b}}$

アプリケーション例: 暗いコピーの FAX を受信したとします。すべてがにじんだペンで書かれたように見えます。侵食プロセスにより、太い線が細くなり、文字「o」の内側の穴が検出されます。

構造要素BによるAの膨張は次のように定義される。

${\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b}.}$

拡大は可換であり、 によっても与えられます。 ${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}}$

前述のように、 B の中心が原点にある場合、 BによるAの拡大は、 Bの中心がA の内側に移動したときにBによってカバーされる点の軌跡として理解できます。上記の例では、半径 2 の円による辺 10 の正方形の拡大は、原点を中心とする角が丸い辺 14 の正方形です。丸い角の半径は 2 です。

膨張は によっても得られます。ここで、B ^{s は}Bの対称性、つまりを表します。 ${\displaystyle A\oplus B=\{z\in E\mid (B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}}$${\displaystyle B^{s}=\{x\in E\mid -x\in B\}}$

応用例: 膨張は侵食の二重操作です。非常に薄く描かれた図形は、「膨張」すると太くなります。これを最も簡単に説明する方法は、同じファックス/テキストをより太いペンで書いたと想像することです。

AをBで開くには、AをBで収縮させ、続いてその結果得られた画像をBで膨張させます。

${\displaystyle A\circ B=(A\ominus B)\oplus B.}$

開口部も で与えられ、これは画像A内の構造要素Bの移動軌跡であることを意味します。 辺が 10 の正方形で、構造要素として半径 2 の円盤がある場合、開口部は角が丸い辺が 10 の正方形で、角の半径は 2 です。 ${\displaystyle A\circ B=\bigcup _{B_{x}\subseteq A}B_{x}}$

応用例: 誰かが、濡れていない紙にメモを書いていて、その文字が全体に小さな毛根が生えているように見えると仮定します。開くと、外側の小さな「毛根」の漏れが基本的に除去され、テキストが復元されます。副作用として、丸みが増します。鋭い角が消え始めます。

AをBで閉じるには、AをBで拡大し、続いてその結果得られる構造をBで縮小します。

${\displaystyle A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B.}$

閉合は によっても得られます。ここで、X ^{c は}Eに対するXの補集合(つまり)を表します。上記は、閉合が画像A の外側にある構造要素の対称性の平行移動の軌跡の補集合であることを意味します。 ${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}$${\displaystyle X^{c}=\{x\in E\mid x\notin X\}}$

基本的なバイナリ形態演算子 (膨張、収縮、開始、終了) のいくつかの特性を次に示します。

• それらは翻訳不変です。
• それらは増加しています。つまり、 の場合、、などとなります。${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B}$${\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}$
• 拡大は可換である: 。${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A}$
• Eの原点が構造要素Bに属する場合、.${\displaystyle A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B}$
• 膨張は結合的である、すなわち、。さらに、収縮は を満たしている。${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)}$${\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)}$
• 侵食と膨張は双対性を満たします。${\displaystyle A\oplus B=(A^{c}\ominus B^{s})^{c}}$
• 開くことと閉じることは二重性を満たします。${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}$
• 拡大は集合和に対して分配的である
• 浸食は集合交差に対して分配的である
• 膨張は、次の意味で、収縮の擬似逆であり、その逆もまた同様です。 の場合に限ります。${\displaystyle A\subseteq (C\ominus B)}$${\displaystyle (A\oplus B)\subseteq C}$
• 開始と終了はべき等です。
• オープニングは反拡張的、すなわち ですが、クロージングは​​拡張的、すなわち です。${\displaystyle A\circ B\subseteq A}$${\displaystyle A\subseteq A\bullet B}$

• ヒット・オア・ミス変換
• 剪定変換
• 形態学的骨格
• 再構築によるフィルタリング
• 究極の侵食と条件付き二等分線
• 粒度分布測定
• 測地距離関数

グレースケール形態学では、画像はユークリッド空間またはグリッドEを にマッピングする関数です。ここで、 は実数の集合、は任意の実数より大きい要素、 は任意の実数より小さい要素です。 ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty }$

グレースケール構造要素も同じ形式の関数であり、「構造化関数」と呼ばれます。

画像をf ( x )、構造化関数をb ( x )、 bのサポートをBとすると、 fのbによるグレースケール拡張は次のように表される。

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in B}[f(x-y)+b(y)],}$

ここで、「sup」は上限を表します。

同様に、 fのbによる侵食は次のように表される。

${\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{y\in B}[f(x+y)-b(y)],}$

ここで、「inf」は下限値を表します。

バイナリ形態学と同様に、開始と終了はそれぞれ次のように表される。

${\displaystyle f\circ b=(f\ominus b)\oplus b,}$

${\displaystyle f\bullet b=(f\oplus b)\ominus b.}$

形態学的応用では、平坦な構造要素を使用するのが一般的です。平坦な構造関数は、次の形式の 関数b ( x )です。

${\displaystyle b(x)={\begin{cases}0,&x\in B,\\-\infty &{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

どこ。 ${\displaystyle B\subseteq E}$

この場合、膨張と収縮は大幅に簡略化され、それぞれ次のように表される。

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{z\in B^{s}}f(x+z),}$

${\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{z\in B}f(x+z).}$

有界の離散的なケース（Eはグリッドで、Bは有界）では、上限演算子と下限演算子は、最大値と最小値に置き換えることができます。したがって、膨張と収縮は順序統計量フィルターの特殊なケースであり、膨張は移動ウィンドウ（構造化関数サポートBの対称）内で最大値を返し、収縮は移動ウィンドウB内で最小値を返します。

フラットな構造要素の場合、形態学的演算子は数値に関係なくピクセル値の相対的な順序のみに依存するため、光伝達関数が不明な バイナリ画像やグレースケール画像の処理に特に適しています。

• 形態学的勾配
• トップハット変換
• ウォーターシェッドアルゴリズム

これらの演算子を組み合わせることで、特徴検出、画像セグメンテーション、画像シャープニング、画像フィルタリング、分類など、多くの画像処理タスクのアルゴリズムを得ることができます。この方向で、連続形態学^[2]も調べる必要があります。

完全格子は部分的に順序付けられた集合であり、すべての部分集合には下限と上限があります。特に、最小元と最大元（「宇宙」とも呼ばれる）が含まれます。

が完全格子であるとします。その最小値と最大値はそれぞれ、およびで表されます。その宇宙と最小元はそれぞれ、Uとで表されます。さらに、がLからの元の集合であるとします。 ${\displaystyle (L,\leq )}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \{X_{i}\}}$

膨張とは、最大値に対して分配し、最小の要素を保存する 演算子です。つまり、${\displaystyle \delta \colon L\rightarrow L}$

• ${\displaystyle \bigvee _{i}\delta (X_{i})=\delta \left(\bigvee _{i}X_{i}\right)}$、
• ${\displaystyle \delta (\emptyset )=\emptyset }$。

浸食とは、下限値に分配し、宇宙を保存する演算子です。つまり、 ${\displaystyle \varepsilon \colon L\rightarrow L}$

• ${\displaystyle \bigwedge _{i}\varepsilon (X_{i})=\varepsilon \left(\bigwedge _{i}X_{i}\right)}$、
• ${\displaystyle \varepsilon (U)=U}$。

拡大と収縮はガロア接続を形成する。つまり、あらゆる拡大に対して、次の式を満たす 収縮が1つだけ存在する。${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle X\leq \varepsilon (Y)\Leftrightarrow \delta (X)\leq Y}$

すべてに対して。 ${\displaystyle X,Y\in L}$

同様に、すべての侵食に対して、上記の関係を満たす膨張が 1 つだけ存在します。

さらに、2 つの演算子が接続を満たす場合、拡大と縮小が必要になります。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon }$

上記の関係を満たす収縮と拡大のペアは「随伴」と呼ばれ、収縮は拡大の随伴収縮であると言われ、その逆も同様です。

すべての付加語について、形態素の開始と終了は次のように定義されます。 ${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$${\displaystyle \gamma \colon L\to L}$${\displaystyle \phi \colon L\to L}$

${\displaystyle \gamma =\delta \varepsilon ,}$

${\displaystyle \phi =\varepsilon \delta .}$

形態的開始と形態的終了は、代数的開始 (または単に開始) と代数的終了 (または単に終了) の特殊なケースです。代数的開始は、Lにおけるべき等、増加、反拡張の演算子です。代数的終了は、Lにおけるべき等、増加、拡張の演算子です。

バイナリ モルフォロジーとは、格子モルフォロジーの特殊なケースです。ここで、 LはE (ユークリッド空間またはグリッド)のべき集合、つまり、L はEのすべての部分集合の集合であり、 は包含集合です。この場合、最小値は集合の交差であり、最大値は集合の和集合です。 ${\displaystyle \leq }$

同様に、グレースケール モルフォロジーも特殊なケースです。ここで、L はEを にマッピングする関数の集合であり、、、、はそれぞれ点ごとの順序、上限、下限です。つまり、fとg がLの関数である場合、である場合に限り、下限は で与えられ、上限はで与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(x)\leq g(x),\forall x\in E}$${\displaystyle f\wedge g}$${\displaystyle (f\wedge g)(x)=f(x)\wedge g(x)}$${\displaystyle f\vee g}$${\displaystyle (f\vee g)(x)=f(x)\vee g(x)}$

• H-最大値変換

• ジャン・セラ著『画像分析と数学的形態学』、ISBN 0-12-637240-3 (1982) 
• 画像解析と数学的形態学、第 2 巻: 理論的進歩、Jean Serra 著、ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• 形態学的画像処理入門、エドワード・R・ドハティ著、ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• 形態学的画像解析; 原理と応用、ピエール・ソイル著、ISBN 3-540-65671-5 (1999)、第 2 版 (2003) 
• 数学的形態学と信号処理への応用、J. Serra および Ph. Salembier (編)、数学的形態学と信号処理への応用に関する第 1 回国際ワークショップ (ISMM'93) の議事録、ISBN 84-7653-271-7 (1993) 
• 数学的形態学と画像処理への応用、J. Serra および P. Soille (編)、第 2 回数学的形態学国際シンポジウム (ISMM'94) の議事録、ISBN 0-7923-3093-5 (1994) 
• 数学的形態学と画像および信号処理への応用、Henk JAM Heijmans および Jos BTM Roerdink (編)、第 4 回数学的形態学国際シンポジウム (ISMM'98) の議事録、ISBN 0-7923-5133-9 (1998) 
• 数学的形態学：40年後、クリスチャン・ロンス、ローラン・ナジマン、エティエンヌ・デサンシエール（編）、ISBN 1-4020-3442-3（2005） 
• 数学的形態学と信号および画像処理への応用、Gerald JF Banon、Junior Barrera、Ulisses M. Braga-Neto（編）、第8回数学的形態学国際シンポジウム（ISMM'07）の議事録、ISBN 978-85-17-00032-4（2007） 
• 数学的形態学：理論から応用まで、ローラン・ナジマン、ヒューグ・タルボット（編）。ISTE-Wiley。ISBN 978-1-84821-215-2。（520ページ）2010年6月 

• ジャン・セラによる数理形態学のオンラインコース（英語、フランス語、スペイン語）
• パリ鉱山大学数学形態学センター
• ジョルジュ・マテロンとジャン・セラによる数学的形態学の歴史
• ピエール・ソイルによる数学的形態学に関するニュースレター「形態学ダイジェスト」
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• 数学的形態学;ロビン・オーウェンズによるコンピュータビジョン講義より
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• 急速な形態学的侵食、膨張、開口、閉鎖
• Matlab を使用したニューロンの形態学的解析