侵食（形態）

収縮（通常は⊖で表される）は、他のすべての形態学的演算の基礎となる形態学的画像処理における 2 つの基本的な演算（もう 1 つは膨張）のうちの 1 つです。収縮はもともと2 値画像用に定義されていましたが、後にグレースケール画像に拡張され、さらに完全格子にも拡張されました。収縮演算では通常、入力画像に含まれる形状をプローブして縮小するための構造要素が使用されます。

バイナリ形態学では、画像は、ある次元dのユークリッド空間または整数グリッドのサブセットとして見られます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

バイナリ形態学の基本的な考え方は、画像を単純な定義済みの形で調査し、その形状が画像内の形状にどの程度適合するか、または適合しないかを結論付けることです。この単純な「調査」は構造要素と呼ばれ、それ自体がバイナリ画像 (つまり、空間またはグリッドのサブセット) です。

E をユークリッド空間または整数グリッドとし、A をE内のバイナリ画像とします。バイナリ画像Aの構造要素Bによる侵食は次のように定義されます。

${\displaystyle A\ominus B=\{z\in E\mid B_{z}\subseteq A\}}$、

ここで、B _zはベクトル z によるBの変換、つまり、 です。 ${\displaystyle B_{z}=\{b+z\mid b\in B\}}$${\displaystyle \forall z\in E}$

構造要素Bに中心（たとえば、円盤または正方形）があり、この中心がEの原点にある場合、 BによるAの浸食は、B がA内を移動するときにBの中心が到達する点の軌跡として理解できます。たとえば、原点を中心とする 1 辺が 10 の正方形を、同じく原点を中心とする半径 2 の円盤で浸食すると、原点を中心とする 1 辺が 6 の正方形になります。

AのBによる侵食は、次の式でも表されます。ここで、A _{−b は}Aの-bによる変換を表します。 ${\displaystyle A\ominus B=\bigcap _{b\in B}A_{-b}}$

これは一般的にはミンコフスキー差としても知られています。

A が 13 x 13 行列で、B が 3 x 3 行列であるとします。

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原点 B が中心にあると仮定して、A の各ピクセルにB の原点を重ね合わせます。B が A に完全に含まれている場合はピクセルが保持され、含まれていない場合は削除されます。

したがって、 B による A の侵食は、この 13 x 13 行列によって表されます。

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つまり、B がA 内に完全に含まれている場合にのみピクセル値が保持され、そうでない場合は削除されるか、または侵食されます。

• 侵食は並進不変です。
• それは増加しています。つまり、 の場合、 となります。${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}$
• Eの原点が構造要素Bに属する場合、侵食は反拡大的、すなわち となります。${\displaystyle A\ominus B\subseteq A}$
• 浸食は を満たします。ここで は形態的膨張を表します。${\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)}$${\displaystyle \oplus}$
• 浸食は集合交差に対して分配的である

グレースケール形態学では、画像はユークリッド空間またはグリッドEを にマッピングする関数です。ここで、 は実数の集合、は任意の実数より大きい要素、 は任意の実数より小さい要素です。 ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle -\infty}$

画像をf(x)、グレースケール構造要素をb(x)で表すと、Bはb(x)が定義される空間であり、fのbによるグレースケール侵食は次のように表される。

${\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{y\in B}[f(x+y)-b(y)]}$、

ここで、「inf」は下限値を表します。

言い換えれば、点の侵食は、構造要素によって定義された近傍の点の最小値です。この点では、メディアン フィルターやガウス フィルターなど、他の多くの種類の画像フィルターに似ています。

完全格子は部分的に順序付けられた集合であり、すべての部分集合には下限と上限があります。特に、最小元と最大元（「宇宙」とも呼ばれる）が含まれます。

完全格子を、その最小値と最大値がそれぞれ と で表すとします。その宇宙と最小元はそれぞれUとで表されます。さらに、をLからの元の集合とします。 ${\displaystyle (L,\leq )}$${\displaystyle \wedge}$${\displaystyle \vee}$${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle \{X_{i}\}}$

における侵食とは、下限値にわたって分配し、宇宙を保存する 任意の演算子です。つまり、${\displaystyle (L,\leq )}$${\displaystyle \varepsilon :L\rightarrow L}$

• ${\displaystyle \bigwedge _{i}\varepsilon (X_{i})=\varepsilon \left(\bigwedge _{i}X_{i}\right)}$、
• ${\displaystyle \varepsilon (U)=U}$。

• 数学的形態学
• 膨張
• オープニング
• 終わりに

• ジャン・セラ著『画像分析と数学的形態学』、ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• 画像解析と数学的形態学、第 2 巻: 理論的進歩、Jean Serra 著、ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• 形態学的画像処理入門、エドワード・R・ドハティ著、ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• 形態学的画像解析; 原理と応用、ピエール・ソイル著、ISBN 3-540-65671-5 (1999) 
• RC Gonzalez および RE Woods、「デジタル画像処理」、第 2 版。アッパー サドル リバー、ニュージャージー: Prentice Hall、2002 年。