形態学的勾配

数理形態学およびデジタル画像処理において、形態勾配とは、与えられた画像の膨張と収縮の差のことです。これは、各ピクセル値（通常は非負）がそのピクセルの近傍におけるコントラスト強度を示す画像です。エッジ検出やセグメンテーションなどの用途に役立ちます。

させて${\displaystyle f:E\mapsto R}$は、ユークリッド空間または離散グリッドE ( R ²やZ ²など) の点を実数直線にマッピングするグレースケール画像とする。${\displaystyle b(x)}$グレースケールの構造要素である。通常、bは対称で、短いサポートを持つ。例:

${\displaystyle b(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&|x|\leq 1,\\-\infty ,&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$。

すると、 fの形態勾配は次のように表される。

${\displaystyle G(f)=f\oplus bf\ominus b}$、

どこ${\displaystyle \oplus }$そして${\displaystyle \ominus }$それぞれ膨張と侵食を表す。

内部勾配は次のように表されます。

${\displaystyle G_{i}(f)=ff\ominus b}$、

外部勾配は次のように与えられる。

${\displaystyle G_{e}(f)=f\oplus bf}$。

内部勾配と外部勾配は勾配よりも「細い」が、勾配のピークはエッジ上に位置するのに対し、内部勾配と外部勾配はエッジの両側に位置する。${\displaystyle G_{i}+G_{e}=G}$。

もし${\displaystyle b(0)\geq 0}$すると、3つの勾配すべてがすべてのピクセルで非負の値を持つ。

• ジャン・セラ著『画像解析と数理形態学』 、 ISBN 0-12-637240-3（1982年）
• 画像解析と数理形態学、第2巻：理論的進歩、ジャン・セラ著、ISBN 0-12-637241-1（1988年）
• エドワード・R・ドハティ著『形態画像処理入門』 、 ISBN 0-8194-0845-X（1992年）

• 形態学的勾配、Center de Morphologie Mathématique、École_des_Mines_de_Paris