粒度測定（形態学）

粒度分布測定
基本概念
粒子サイズ、粒度、粒度分布、形態
方法とテクニック
メッシュスケール、光学粒度測定、ふるい分析、土壌粒度分布
関連概念
造粒、粒状物質、鉱物粉塵、パターン認識、動的光散乱
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数理形態学において、粒度分布測定法は、一連の形態学的オープニング操作を使用して、バイナリ画像内の粒子のサイズ分布を計算するアプローチです。これは、1960 年代にGeorges Matheronによって導入され、数理形態学におけるサイズの概念の特徴付けの基礎となっています。

B をユークリッド空間またはグリッドE内の構造要素とし、次式で与えられる族、を考える。 ${\displaystyle \{B_{k}\}}$${\displaystyle k=0,1,\ldots }$

${\displaystyle B_{k}=\underbrace {B\oplus \ldots \oplus B} _{k{\mbox{ 回}}}}$、

ここで、 は形態的膨張を表します。慣例により、はEの原点のみを含む集合であり、です。 ${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle B_{0}}$${\displaystyle B_{1}=B}$

X を集合（つまり、数学的形態学における二値画像）とし、次式で表される集合の級数、を考える。 ${\displaystyle \{\gamma _{k}(X)\}}$${\displaystyle k=0,1,\ldots }$

${\displaystyle \gamma _{k}(X)=X\circ B_{k}}$、

ここで は形態学的開口部を表します。 ${\displaystyle \circ}$

粒度関数は 、画像の濃度（連続ユークリッド空間内の面積または体積、またはグリッド内の要素の数）です。 ${\displaystyle G_{k}(X)}$${\displaystyle \gamma _{k}(X)}$

${\displaystyle G_{k}(X)=|\gamma _{k}(X)|}$。

Xのパターンスペクトルまたはサイズ分布は、次のように表される集合 、 の集合です。 ${\displaystyle \{PS_{k}(X)\}}$${\displaystyle k=0,1,\ldots }$

${\displaystyle PS_{k}(X)=G_{k}(X)-G_{k+1}(X)}$。

パラメータkはサイズと呼ばれ、パターン スペクトルの成分k は、画像X内のサイズkの粒子の量の概算を提供します。 のピークは、対応するサイズの粒子が比較的多く存在することを示します。 ${\displaystyle PS_{k}(X)}$${\displaystyle PS_{k}(X)}$

上記の一般的な方法は、ジョルジュ・マセロンによって導き出されたより一般的なアプローチの特殊なケースです。このフランスの数学者は、サイズを特徴付ける手段としてのふるい分けにインスピレーションを得ました。ふるい分けでは、粒状のサンプルを、穴のサイズが小さくなる一連のふるいに通します。その結果、サンプル内のさまざまな粒子がサイズに応じて分離されます。

特定の穴サイズ「 k 」のふるいにサンプルを通す操作は、サイズがk以下であるXの要素のサブセットを返す演算子として数学的に記述できます。この演算子ファミリは、次のプロパティを満たします。 ${\displaystyle \Psi_{k}(X)}$

1. 反伸展性：各ふるいは、すなわち、穀物の量を減らします、${\displaystyle \Psi_{k}(X)\subseteq X}$
2. 増加性：サンプルのサブセットをふるいにかけた結果は、そのサンプルのふるい分けのサブセットである。つまり、${\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \Psi _{k}(X)\subseteq \Psi _{k}(Y)}$
3. 「安定性」：2 つのふるいを通過した結果は、穴のサイズが最も小さいふるいによって決まります。つまり、${\displaystyle \Psi _{k}\Psi _{m}(X)=\Psi _{m}\Psi _{k}(X)=\Psi _{\min(k,m)}(X)}$

粒度分布を生成する演算子のファミリは、上記の 3 つの公理を満たす必要があります。

上記の場合（構造要素によって生成された粒度分布）では、. ${\displaystyle \Psi_{k}(X)=\gamma_{k}(X)=X\circB_{k}}$

粒度分布生成ファミリーの別の例は、 のときです。ここで、 は異なる方向を持つ線形構造要素の集合です。 ${\displaystyle \Psi_{k}(X)=\bigcup_{i=1}^{N}X\circ (B^{(i)})_{k}}$${\displaystyle \{B^{(i)}\}}$

• 粒度分布
• 粒度
• 光学粒度測定

• ランダムセットと積分幾何学、ジョルジュ・マセロン著、Wiley 1975、ISBN  0-471-57621-2。
• ジャン・セラ著『画像分析と数学的形態学』、ISBN 0-12-637240-3 (1982) 
• 局所形態学的粒度分布による画像セグメンテーション、 Dougherty, ER、Kraus, EJ、および Pelz, JB.、地球科学およびリモートセンシングシンポジウム、1989。IGARSS'89、doi :10.1109/IGARSS.1989.576052 (1989)
• 形態学的画像処理入門、エドワード・R・ドハティ著、ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• 形態学的画像解析; 原理と応用、ピエール・ソイル著、ISBN 3-540-65671-5 (1999)