膨張（形態学）

膨張（通常は⊕で表される）は、数学的形態学における基本的な操作の 1 つです。もともとは2 値画像用に開発されましたが、最初はグレースケール画像に、その後完全な格子に拡張されました。膨張操作では通常、構造要素を使用して、入力画像に含まれる形状をプローブおよび拡張します。

バイナリ形態学では、膨張はシフト不変（変換不変）演算子であり、ミンコフスキー加算と同等です。

数学的形態学では、バイナリ画像は、ある次元dに対するユークリッド空間R ^dまたは整数グリッドZ ^dのサブセットと見なされます。E をユークリッド空間または整数グリッド、AをE内のバイナリ画像、B をR ^dのサブセットと見なされる構造要素とします。

AのBによる拡大は次のように定義される。

${\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b},}$

ここで、A _{b は}bによるAの変換です。

拡大は可換であり、 によっても与えられます。 ${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}}$

B の中心が原点にある場合、 BによるAの拡大は、 Bの中心がA の内部に移動したときにBによって覆われる点の軌跡として理解できます。 原点を中心とするサイズ 10 の正方形を、同じく原点を中心とする半径 2 の円板で拡大すると、原点を中心とする、角が丸い 14 辺の正方形になります。 丸い角の半径は 2 です。

膨張は によっても得られます。ここで、B ^{s は}Bの対称性、つまりを表します。 ${\displaystyle A\oplus B=\{z\in E\mid (B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}}$${\displaystyle B^{s}=\{x\in E\mid -x\in B\}}$

A が次の 11 x 11 行列であり、B が次の 3 x 3 行列であるとします。

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0   
    0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0  
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1
    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1
    0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0       
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0   
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0   
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A 内の値が 1 の各ピクセルに対して、B の中心が A 内の対応するピクセルと揃うように B を 重ねます。

重ね合わせられたすべての B の各ピクセルは、B による A の拡大に含まれます。

A の B による拡大は、この 11 x 11 行列によって与えられます。

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

二項膨張演算子のいくつかの特性は次の通りである。

• それは翻訳不変です。
• それは増加しています。つまり、 の場合、 となります。${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B}$
• それは可換である。
• Eの原点が構造要素Bに属する場合、それは拡張可能、すなわち です。${\displaystyle A\subseteq A\oplus B}$
• それは結合的です、すなわち、です。${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)}$
• 集合和に対して分配的である

グレースケール形態学では、画像はユークリッド空間またはグリッドEを にマッピングする関数です。ここで、 は実数の集合、は任意の実数より大きい要素、 は任意の実数より小さい要素です。 ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle -\infty}$

グレースケール構造要素も同じ形式の関数であり、「構造化関数」と呼ばれます。

画像をf ( x )、構造化関数をb ( x )で表すと、 fのbによるグレースケールの拡大は次のように表される。

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(xy)],}$

ここで、「sup」は上限を表します。

形態学的応用では、平坦な構造要素を使用するのが一般的です。平坦な構造関数は、次の形式の 関数b ( x )です。

${\displaystyle b(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&x\in B,\\-\infty ,&{\text{otherwise}},\end{array}}\right.}$

どこ。 ${\displaystyle B\subseteq E}$

この場合、膨張は大幅に簡略化され、次のように表される。

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(xy)]=\sup _{z\in E}[f(xz)+b(z)]=\sup _{z\in B}[f(xz)].}$

（x  = ( px ,  qx )、z  = ( pz ,  qz )とすると、x  −  z  = ( px  −  pz ,  qx  −  qz )となります。）

有界の離散的なケース（Eはグリッドで、Bは有界）では、上限演算子は最大値に置き換えることができます。したがって、膨張は順序統計フィルタの特殊なケースであり、移動ウィンドウ（構造化関数のサポートBの対称性）内の最大値を返します。

完全格子は部分的に順序付けられた集合であり、すべての部分集合には下限と上限があります。特に、最小元と最大元（「宇宙」とも呼ばれる）が含まれます。

完全格子を、その最小値と最大値がそれぞれ と で表すとします。その宇宙と最小元はそれぞれUとで表されます。さらに、をLからの元の集合とします。 ${\displaystyle (L,\leq )}$${\displaystyle \wedge}$${\displaystyle \vee}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \{X_{i}\}}$

膨張とは、最大値を分配し、最小の要素を保存する 演算子です。つまり、次の式が成り立ちます。${\displaystyle \delta :L\rightarrow L}$

• ${\displaystyle \bigvee _{i}\delta (X_{i})=\delta \left(\bigvee _{i}X_{i}\right),}$
• ${\displaystyle \delta (\varnothing )=\varnothing .}$

• バッファ（GIS）
• 閉会（形態学）
• 侵食（形態）
• 数学的形態学
• 開口部（形態）
• ミンコフスキー加算

• ジャン・セラ著『画像分析と数学的形態学』、ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• 画像解析と数学的形態学、第 2 巻: 理論的進歩、Jean Serra 著、ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• 形態学的画像処理入門、エドワード・R・ドハティ著、ISBN 0-8194-0845-X (1992)