形態学的勾配

数学的形態学とデジタル画像処理において、形態学的勾配とは、特定の画像の膨張と収縮の差のことです。これは、各ピクセル値 (通常は非負) がそのピクセルの近傍のコントラスト強度を示す画像です。これは、エッジ検出やセグメンテーションのアプリケーションに役立ちます。

をグレースケール画像とし、ユークリッド空間または離散グリッドE ( R ²やZ ²など) の点を実数直線に写像する。をグレースケール構造要素とする。通常、b は対称で、サポートが短い。たとえば、 ${\displaystyle f:E\mapsto R}$${\displaystyle b(x)}$

${\displaystyle b(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&|x|\leq 1,\\-\infty ,&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$。

そして、 fの形態学的勾配は次のように表される。

${\displaystyle G(f)=f\oplus bf\ominus b}$、

ここで、 と はそれぞれ膨張と収縮を表します。 ${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle \ominus}$

内部勾配は次のように表されます。

${\displaystyle G_{i}(f)=ff\ominus b}$、

外部勾配は次のように表されます。

${\displaystyle G_{e}(f)=f\oplus bf}$。

内部勾配と外部勾配は勾配よりも「薄い」ですが、勾配のピークはエッジに位置し、内部勾配と外部勾配はエッジの両側に位置します。 に注意してください。 ${\displaystyle G_{i}+G_{e}=G}$

の場合、3 つのグラデーションはすべて、すべてのピクセルで負でない値を持ちます。 ${\displaystyle b(0)\geq 0}$

• ジャン・セラ著『イメージ分析と数学的形態学』、ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• 画像解析と数学的形態学、第 2 巻: 理論的進歩、Jean Serra 著、ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• 形態学的画像処理入門、エドワード・R・ドハティ著、ISBN 0-8194-0845-X (1992) 

• 形態学的勾配、形態数学センター、École_des_Mines_de_Paris