閉会（形態学）

数学的形態学では、集合（二値画像）Aを構造要素Bで閉じることは、その集合の 膨張の侵食である。

${\displaystyle A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B,\,}$

ここで、およびはそれぞれ膨張と収縮を表します。 ${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle \ominus}$

画像処理において、クロージングは​​オープニングとともに、形態学的ノイズ除去の基本的な機能です。オープニングは小さなオブジェクトを除去し、クロージングは​​小さな穴を除去します。

膨張を実行する( ): ${\displaystyle A\oplus B}$

A が次の 11 x 11 行列であり、B が次の 3 x 3 行列であるとします。

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0   
    0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0  
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
    0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
    0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0       
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0   
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0   
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A 内の値が 1 の各ピクセルに対して、B の中心が A 内の対応するピクセルと揃うように B を 重ねます。

重ね合わせられたすべての B の各ピクセルは、B による A の拡大に含まれます。

A の B による拡大は、この 11 x 11 行列によって与えられます。

${\displaystyle A\oplus B}$は次のように与えられる：

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   

次に、結果に対して侵食を実行します: ( )${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle \ominus B}$

${\displaystyle A\oplus B}$は次の 11 x 11 行列であり、B は次の 3 x 3 行列です。

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

原点 B が中心にあると仮定すると、各ピクセルにB の原点を重ね合わせ、B が A に完全に含まれる場合、ピクセルは保持され、そうでない場合は削除されます。 ${\displaystyle A\oplus B}$

したがって、 B によるの浸食は、この 11 x 11 行列によって与えられます。 ${\displaystyle A\oplus B}$

（）は次のように与えられる： ${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle \ominus B}$

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

したがって、クロージング操作は小さな穴を埋め、狭い隙間を埋めることでオブジェクトを滑らかにします。

• それはべき等性、つまり、です。${\displaystyle (A\bullet B)\bullet B=A\bullet B}$
• それは増加しています。つまり、 の場合、 となります。${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle A\bullet B\subseteq C\bullet B}$
• それは広範囲です、すなわち、です。${\displaystyle A\subseteq A\bullet B}$
• それは翻訳不変です。

• 数学的形態学
• 膨張
• 侵食
• オープニング
• トップハット変身

• ジャン・セラ著『画像分析と数学的形態学』、ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• 画像解析と数学的形態学、第 2 巻: 理論的進歩、Jean Serra 著、ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• 形態学的画像処理入門、エドワード・R・ドハティ著、ISBN 0-8194-0845-X (1992) 

• 数学的形態学入門