形態学的骨格

デジタル画像処理において、形態学的スケルトンは、形態学的演算子によって計算された形状またはバイナリ画像のスケルトン（または中心軸）表現です。

形態学的スケルトンには 2 種類あります。

• 形態学的開口部によって定義され、そこから元の形状を再構築できるもの、
• ヒットオアミス変換によって計算され、形状のトポロジが保持されます。

（Lantuéjoul 1977）^[1]において、 Lantuéjoulは連続二値画像の骨格について次のような形態学的式を導出した。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle S(X)=\bigcup _{\rho >0}\bigcap _{\mu >0}\left[(X\ominus \rho B)-(X\ominus \rho B)\circ \mu {\overline {B}}\right]}$、

ここで、 およびはそれぞれ形態的浸食と開口部、は半径の開いた球体、は の閉包です。 ${\displaystyle \ominus}$${\displaystyle \circ}$${\displaystyle \rho B}$ ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle {\overline {B}}}$${\displaystyle B}$

、を図形の族とし、Bを構造要素とする。 ${\displaystyle \{nB\}}$${\displaystyle n=0,1,\ldots }$

${\displaystyle nB=\underbrace {B\oplus \cdots \oplus B} _{n{\mbox{ 回}}}}$、 そして

${\displaystyle 0B=\{o\}}$ここで、o は原点を表します。

変数n は構造要素の サイズと呼ばれます。

ランチュエジュールの公式は次のように離散化されている。離散バイナリ画像 の場合、スケルトンS(X)はスケルトンサブセット、の和集合である。ここで、 ${\displaystyle X\subset \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \{S_{n}(X)\}}$${\displaystyle n=0,1,\ldots,N}$

${\displaystyle S_{n}(X)=(X\ominus nB)-(X\ominus nB)\circ B}$。

元の形状X は、次のようにスケルトン サブセットのセットから再構築できます。 ${\displaystyle \{S_{n}(X)\}}$

${\displaystyle X=\bigcup _{n}(S_{n}(X)\oplus nB)}$。

部分的な再構築も実行でき、元の形状の開いたバージョンが作成されます。

${\displaystyle \bigcup _{n\geq m}(S_{n}(X)\oplus nB)=X\circ mB}$。

を点zまで平行移動したもの、つまり とします。 ${\displaystyle nB_{z}}$${\displaystyle nB}$${\displaystyle nB_{z}=\{x\in E|xz\in nB\}}$

zを中心とする図形は、次の場合に集合A内の最大円板と呼ばれます。 ${\displaystyle nB_{z}}$

• ${\displaystyle nB_{z}\in A}$、 そして
• ある整数mとある点yに対して、が成り立つ場合。${\displaystyle nB_{z}\subseteq mB_{y}}$${\displaystyle mB_{y}\not \subseteq A}$

各スケルトンサブセットは、サイズnのすべての最大ディスクの中心で構成されます。 ${\displaystyle S_{n}(X)}$

形態学的スケルトン化は、制御された侵食プロセスと見なすことができます。これには、対象領域が 1 ピクセル幅になるまで画像を縮小することが含まれます。これにより、通常は大規模でメモリを大量に消費する操作を迅速かつ正確に処理できます。画像にスケルトン化を使用する優れた例として、指紋の処理があります。これは、スケルトン化形態学の手法を画像に実装する組み込みの Matlab 関数である bwmorph を使用して簡単に実行できます。

右の画像は、スケルトン形態学が達成できる範囲を示しています。部分的な画像があれば、より完全な画像を抽出できます。シンプルな自動しきい値グレースケールからバイナリへのコンバーターを使用して画像を適切に前処理すると、スケルトン化機能による細線化が容易になります。コントラスト比が高いほど、線をより正確に結合できます。指紋を適切に再構築できます。

skelIm = bwmorph(orIm,'skel',Inf); %スケルトン化画像を生成するために使用される関数 

• ジャン・セラ著『イメージ分析と数学的形態学』、ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• 画像解析と数学的形態学、第 2 巻: 理論的進歩、Jean Serra 著、ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• 形態学的画像処理入門、エドワード・R・ドハティ著、ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• Ch. Lantuéjoul、「Sur le modèle de Johnson-Mehl généralisé」、Center de Morph の内部報告書。数学。、フォンテーヌブロー、フランス、1977年。
• スコット・E・アンボー（2018）。デジタル画像処理と分析、pp 93-96。CRC Press。ISBN 978-1-4987-6602-9