オプション停止定理

確率論において、任意停止定理（または、アメリカの確率学者ジョセフ・ドゥーブにちなんでドゥーブの任意サンプリング定理と呼ばれることもある）は、ある条件下では、マルチンゲールの停止時点での期待値は、その初期期待値に等しいとしている。マルチンゲールは公正なゲームに参加しているギャンブラーの富をモデル化するために使用できるため、任意停止定理によれば、平均すると、これまでに得られた情報に基づいて（つまり、将来を見ずに）プレイを停止しても何も得られない。この結果が成り立つためには、特定の条件が必要である。特に、この定理は倍増戦略に適用される。

オプション停止定理は、資産価格設定の基本定理の文脈において、数理ファイナンスの重要なツールです。

離散時間バージョンの定理を以下に示します_。0はゼロを含む自然数の集合を表します。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

X = ( X _t ) _{t ∈ 0 を${\displaystyle \mathbb {N} }$}離散時間マルチンゲールとし、τ を_{​​ 0} ∪ {∞ }の範囲の値を持つ停止時間とします。どちらもフィルタリング( F _t ) _{t ∈ 0}に関してです。次の 3 つの条件のいずれかが満たされていると仮定します。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ _{${\displaystyle \mathbb {N} }$}

（a）停止時間τはほぼ確実に有界である、すなわち、τ≤cとなる定数 c∈が存在する${\displaystyle \mathbb {N} }$。

（b）停止時間τには有限の期待値があり、マルチンゲール増分の絶対値の条件付き期待値はほぼ確実に有界であり、より正確には、すべてのt∈0に対してイベント{ τ > t }がほぼ_確実に成立する定数cが存在する。${\displaystyle \mathbb {E} [\tau ]<\infty }$${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X_{t+1}-X_{t}|\,{\big \vert }\,{\mathcal {F}}_{t}{\bigr ]}\leq c}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

( c ) t ∈ ₀のすべてに対して| X _{t ∧ τ} | ≤ c を満たす定数c が存在する。ここで∧ は最小演算子を表す。${\displaystyle \mathbb {N} }$

すると、X _{τ は}ほぼ確実に定義された確率変数となり、${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].}$

同様に、確率過程X = ( X _t ) _{t ∈ 0${\displaystyle \mathbb {N} }$}がサブマルチンゲールまたはスーパーマルチンゲールであり、上記の条件のいずれかが成立する場合、

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]\geq \mathbb {E} [X_{0}],}$

サブマルチンゲールの場合、

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]\leq \mathbb {E} [X_{0}],}$

スーパーマルチンゲールの場合。

条件( c )では、 τ = ∞が正の確率で発生する可能性があります。このとき、X _{τ は}( X _t ) _{t ∈ 0${\displaystyle \mathbb {N} }$}のほぼ確実に存在する点ごとの極限として定義されます。詳細については以下の証明を参照してください。

• 任意停止定理は、有限の寿命（条件（a）を与える）または賭け金の上限（条件（b）を与える）を持つギャンブラーにとって、成功する賭け戦略が不可能であることを証明するために使用できます。ギャンブラーは、公平なコイン投げに1、2、3などの時点で最高cドルを賭けることができ、コインが表になれば勝ち、コインが裏になれば負けるとします。さらに、ギャンブラーはいつでも好きなときにやめることができるが、まだ行われていないギャンブルの結果を予測することはできないとします。すると、ギャンブラーの時間の経過に伴う財産はマルチンゲールであり、ギャンブラーがやめることを決めた（または破産してやむを得ずやめざるを得なくなった）時間τが停止時間です。したがって、定理によれば、 E[ X _τ ] = E[ X ₀ ]となります。言い換えると、ギャンブラーは平均して開始時と同じ金額を持って立ち去ります。 (ギャンブラーが個々の賭け金にハウス リミットを設定する代わりに、信用限度額または負債額に有限の制限を設定している場合も、同じ結果が成立しますが、これは定理の別​​のバージョンを使用するとより簡単に示すことができます。)
• a ≥ 0から始まり、各ステップで等確率で 1 ずつ上または下に移動するランダム ウォークを想定します。さらに、 0またはm ≥ aに到達するとウォークが停止するとします。これが最初に発生する時刻が停止時刻です。ウォークが終了すると予想される時刻が有限であることがわかっている場合 (たとえば、マルコフ連鎖理論から)、オプションの停止定理により、予想される停止位置は初期位置aに等しいと予測されます。ウォークが0になる前にm に到達する確率pについてa = pm + (1 – p )0 を解くと、 p = a / mが得られます。
• ここで、 0から始まり、 – mまたは+ mに到達すると停止するランダムウォークXを考え、例のセクションのY _n = X _n ² – nマルチンゲールを使用します。τがX が最初に± m に到達する時間である場合、0 = E[ Y ₀ ] = E[ Y _τ ] = m ² – E[τ]です。これにより、E[ τ ] = m ²が得られます。
• ただし、定理の条件の 1 つが成立するように注意する必要があります。たとえば、最後の例で「片側」停止時間を使用したとします。この場合、停止は+ mでのみ発生し、− mでは発生しません。この停止時間でのXの値はmになります。したがって、期待値E[ X _τ ]もmでなければなりませんが、これはE[ X _τ ] = 0 となる定理に違反しているように見えます。オプションの停止定理が成立しないことは、 3 つの条件すべてが成立しないことを示しています。

X ^{τ が}停止したプロセスを表すと、これもマルチンゲール（またはそれぞれサブマルチンゲール、スーパーマルチンゲール）です。条件（a）または（b）の下では、ランダム変数X τ は明確に定義されます。条件（c）の下では、停止したプロセスX ^{τ は}有界であるため、Doobのマルチンゲール収束定理により、点ごとにランダム変数X _{τに収束します。このランダム変数を X τ}と呼びます。

条件（c）が成立する場合、停止したプロセスX ^τは定数確率変数M  := cによって制限される。そうでない場合、停止したプロセスを次のように書く。

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{0}+\sum _{s=0}^{\tau -1\land t-1}(X_{s+1}-X_{s}),\quad t\in {\mathbb {N} }_{0},}$

は_{、すべての}t∈0に対して| X _t ^τ | ≤ Mを与える。ただし、 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle M:=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\tau -1}|X_{s+1}-X_{s}|=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\infty }|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}}$。

単調収束定理により

${\displaystyle \mathbb {E} [M]=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\bigr ]}}$。

条件（a）が成り立つ場合、この級数には有限個の非ゼロ項のみが含まれるため、Mは積分可能である。

条件（b）が成立する場合、条件付き期待値を挿入し、イベント{ τ > s }が時刻sで既知であることを使用することで続行します（τは濾過に関する停止時間であると仮定されていることに注意してください）。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [M]&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|{\big |}{\mathcal {F}}_{s}{\bigr ]}\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}} _{\leq \,c\,\mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\text{ a.s. by (b)}}}{\bigr ]}\\&\leq \mathbb {E} [|X_{0}|]+c\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {P} (\tau >s)\\&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+c\,\mathbb {E} [\tau ]<\infty ,\\\end{aligned}}}$

ここで、最後の等式には、 負でない整数値のランダム変数の期待値の表現が使用されます。

したがって、定理の3つの条件のいずれか1つにおいて、停止プロセスは積分可能なランダム変数Mによって支配される。停止プロセスX ^{τ は}ほぼ確実にX _τに収束するので、支配収束定理は次を意味する。

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\lim _{t\to \infty }\mathbb {E} [X_{t}^{\tau }].}$

停止したプロセスのマルチンゲール特性により、

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t}^{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}],\quad t\in {\mathbb {N} }_{0},}$

したがって

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].}$

同様に、X がそれぞれサブマルチンゲールまたはスーパーマルチンゲールである場合は、最後の 2 つの式の等式を適切な不等式に変更します。

1. グリメット、ジェフリー・R.、スターザカー、デイビッド・R. (2001)。確率とランダムプロセス（第3版）。オックスフォード大学出版局。pp. 491–495。ISBN 9780198572220。
2. バッタチャリヤ、ラビ; ウェイマイア、エドワード C. (2007)。確率論の基礎コース。シュプリンガー。pp. 43–45。ISBN 978-0-387-71939-9。

• ドゥーブのオプション停止定理