プロセスを停止しました

数学において、停止プロセスとは、規定された（ランダムな場合もある）時間の経過後に同じ値を取るよう強制される 確率プロセスです。

させて

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$確率空間である。
• ${\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}$測定可能な空間であること
• ${\displaystyle X:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} }$確率過程である;
• ${\displaystyle \tau :\Omega \to [0,+\infty ]}$何らかの濾過に関する停止時間となります。 ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}|t\geq 0\}}$${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$

停止したプロセス は次のよう に定義されます。${\displaystyle X^{\tau}}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle X_{t}^{\tau }(\omega ):=X_{\min\{t,\tau (\omega )\}}(\omega ).}$

ルーレットをプレイしているギャンブラーを考えてみます。X _{t は}、t ≥ 0 の時点でのギャンブラーのカジノでの合計保有額を表します。これは、カジノがクレジットを提供しているかどうかによって、負になる場合と負になる場合があります。Y _tは、ギャンブラーが無制限のクレジットを取得できる場合の保有額を表します (したがって、Y は負の値になることがあります)。

• 決定論的な時間に停止する: カジノはギャンブラーに無制限のクレジットを貸す用意があり、ギャンブラーはゲームの状態に関係なく、所定の時間Tにゲームを離れることを決意したとします。ギャンブラーのアカウントは、ゲームを離れた後も、ギャンブラーがゲームを離れた瞬間と同じ状態のままであるため、 Xは実際には停止されたプロセスY ^Tです。
• ランダムな時間に停止する: ギャンブラーは他に収入源がなく、カジノは顧客にクレジットを貸さないと仮定します。ギャンブラーは破産するまでプレイすることを決意します。するとランダムな時間に停止します。

${\displaystyle \tau (\omega ):=\inf\{t\geq 0|Y_{t}(\omega )=0\}}$

はYの停止時間であり、ギャンブラーはリソースを使い果たした後はプレイを続けることができないため、X は停止したプロセスY ^τです。

をゼロから始まる1 次元の標準ブラウン運動とします。 ${\displaystyle B:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {R} }$

• 決定論的な時間で停止する: の場合、停止したブラウン運動は時間 まで通常どおりに進み、その後は一定のままになります。つまり、すべての に対して となります。${\displaystyle T>0}$${\displaystyle \tau (\omega )\equiv T}$${\displaystyle B^{\tau}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle B_{t}^{\tau }(\omega )\equiv B_{T}(\omega )}$${\displaystyle t\geq T}$
• ランダムな時間で停止する:領域の最初のヒット時間によってランダムな停止時間を定義します。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} |x\geq a\}}$

${\displaystyle \tau (\omega ):=\inf\{t>0|B_{t}(\omega )\geq a\}.}$

すると、停止したブラウン運動は、ランダムな時間 まで通常どおりに進行し、その後は値 で一定になります。つまり、すべての に対して となります。 ${\displaystyle B^{\tau}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle a}$${\displaystyle B_{t}^{\tau }(\omega )\equiv a}$${\displaystyle t\geq \tau (\omega )}$

• 強制終了したプロセス

• ロバート・G・ギャラガー「確率過程：応用理論」ケンブリッジ大学出版局、2013年12月12日、450ページ