メートル法で測れるスペース

位相幾何学および関連する数学の分野において、距離化可能空間は、距離空間に同相な位相空間である。つまり、位相空間が距離化可能であるとは、距離が存在することを意味し、距離空間によって誘導される位相は^{[1] [2]}となる。距離化定理は、位相空間が距離化可能であるための 十分な条件を与える定理である。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle d:X\times X\to [0,\infty )}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \tau .}$

距離化可能空間は、距離空間からすべての位相的性質を継承します。たとえば、ハウスドルフ パラコンパクト空間(したがって正規およびチコノフ) であり、第一可算 です。ただし、完全性などの計量の一部の性質は継承されているとは言えません。これは、計量​​にリンクされた他の構造にも当てはまります。たとえば、距離化可能一様空間 は、それが同相である計量空間とは 異なる縮約写像の集合を持つ場合があります。

最初に広く認識された計量化定理の一つはウリゾーンの距離化定理。これは、すべてのハウスドルフの第二可算 正則空間は距離化可能であることを述べています。したがって、たとえば、すべての第二可算多様体は距離化可能です。（歴史的注記：ここで示されている定理の形式は、実際には1926年にティホノフウリゾーンが死後1925年に出版された論文で示したのは、すべての第二可算正規ハウスドルフ空間は距離化可能であるということでした。）逆は成り立ちません。たとえば、離散計量を備えた非可算集合など、第二可算ではない距離空間が存在します。^[3]永田–スミルノフの距離化定理は、逆が成り立つより具体的な定理を提供します。

ウリゾーンの定理の単純な帰結として、他のいくつかの距離化定理が成り立ちます。たとえば、コンパクトなハウスドルフ空間は、第 2 可算である場合に限り、距離化可能です。

ウリゾーンの定理は、次のように言い換えることができます。位相空間が分離可能かつ距離化可能であるのは、それが正則、ハウスドルフ、かつ第二可算である場合に限ります。永田–スミルノフ距離化定理は、これを非分離ケースに拡張します。これは、位相空間が距離化可能であるのは、それが正則、ハウスドルフであり、σ 局所有限基底を持つ場合に限ります。σ 局所有限基底とは、可算個数の局所有限な開集合の集合の和集合である基底です。密接に関連する定理については、ビング距離化定理を参照してください。

可分距離化可能空間は、ヒルベルト立方体のサブスペース、つまり、単位区間（実数からの自然なサブスペース位相を持つ）とそれ自身との可算無限積で、積位相を持つ空間に同相な空間としても特徴付けることができます。 ${\displaystyle \lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },}$

空間は、あらゆる点が距離化可能な近傍を持つ場合、局所距離化可能であると言われます。スミルノフは、局所距離化可能な空間が距離化可能であるのは、それがハウスドルフかつパラコンパクトである場合のみであることを証明しました。特に、多様体が距離化可能であるのは、それがパラコンパクトである場合のみであることを証明しました。

強作用素位相を備えた可分ヒルベルト空間上のユニタリ作用素群は距離化可能である（ ^[4]の命題II.1を参照）。 ${\displaystyle \mathbb {U} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

メートル法化できない空間の例

非正規空間は距離化できない。重要な例としては、

• 代数幾何学で使用される、代数多様体上または環のスペクトル上のザリスキ位相。
• 実数直線からそれ自身へのすべての関数の位相ベクトル空間。点ごとに収束する位相を持つ。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

下限位相を持つ実数直線は距離化できません。通常の距離関数は、それが決定する位相が下限位相ではなく通常の位相であるため、この空間上の距離ではありません。この空間は、ハウスドルフ、パラコンパクト、および第一可算です。

2 つの原点を持つ直線は、虫の目線とも呼ばれ、非ハウスドルフ多様体です(したがって距離化できません)。すべての多様体と同様に、これはユークリッド空間に局所的に同相であるため、局所的に距離化可能(ただし距離化できません)かつ局所的にハウスドルフです(ただしハウスドルフではありません)。また、これはT ₁局所正則空間ですが、半正則空間ではありません。

長い行は、局所的には距離化可能ですが、距離化できません。つまり、ある意味では「長すぎる」のです。

• アポロニアン計量 – ルーマニアの数学者、詩人 (1895 - 1961)
• ビング距離化定理 – 位相空間が距離化可能である場合を特徴付ける
• 距離化可能な位相ベクトル空間 – 距離によって位相を定義できる位相ベクトル空間
• ムーア空間（位相）  - 展開可能な正則ハウスドルフ空間フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 永田・スミルノフ距離化定理 – 位相空間が距離化可能であるかどうかを特徴付ける
• 一様化可能性 – 一様構造によって位相が生成される位相空間、一様空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページに同相であるという位相空間の性質、または擬似距離の族によって位相が定義されることと同等である。

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