線形時不変システム

入力信号x ( t ) と出力信号y ( t )を持つ線形連続時間時不変システムの挙動は、畳み込み積分によって記述されます。^{[ 5 ]}

どこ${\textstyle h(t)}$システムがインパルスに反応する度合いは次のとおりです。${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$。${\textstyle y(t)}$したがって、入力関数の加重平均に比例する。${\textstyle x(\tau )}$重み付け関数は${\textstyle h(-\tau )}$単純に量だけシフトした${\textstyle t}$。 として${\textstyle t}$変更すると、重み付け関数は入力関数の異なる部分を強調します。${\textstyle h(\tau )}$すべての負の値に対してゼロです${\textstyle \tau }$、${\textstyle y(t)}$値のみに依存する${\textstyle x}$時間より前に${\textstyle t}$そして、そのシステムは因果的であると言われている。

畳み込みがLTIシステムの出力を生成する理由を理解するために、表記法を次のようにします。${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$関数を表す${\textstyle x(u-\tau )}$変数付き${\textstyle u}$そして絶え間ない${\textstyle \tau }$. そして、より短い表記法では${\textstyle \{x\}}$代表する${\textstyle \{x(u);\ u\}}$すると、連続時間システムは入力関数を変換し、${\textstyle \{x\},}$出力関数に、${\textstyle \{y\}}$そして一般的に、出力のあらゆる値は入力のあらゆる値に依存する可能性があります。この概念は次のように表されます。 $${\displaystyle y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},}$$ どこ${\textstyle O_{t}}$は時間の変換演算子です${\textstyle t}$典型的なシステムでは、${\textstyle y(t)}$最も大きく依存するのは、${\textstyle x}$ほぼ同時期に発生した${\textstyle t}$変換自体が変更されない限り${\textstyle t}$出力関数は単なる定数であり、システムは面白くない。

線形システムの場合、${\textstyle O}$式1を満たさなければならない：

そして、時間不変性の要件は次のとおりです。

この表記法では、インパルス応答を次のように書くことができます。${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

同様に：

この結果を畳み込み積分に代入すると、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$$

これは、次の場合には式2の右辺の形をとる。${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$そして${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

式2は、この継続を可能にする。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau$$ ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}}

要約すると、入力関数は、${\textstyle \{x\}}$は、式1に示すように、「線形」に結合された時間シフトされたインパルス関数の連続体で表すことができます。システムの線形性により、システムの応答は、同様の方法で結合された対応するインパルス応答の連続体で表すことができます。また、時間不変性により、その組み合わせは畳み込み積分で表すことができます。

上記の数学演算は、簡単な図解でシミュレーションできます。^{[ 6 ]}

固有関数とは、演算子の出力が同じ関数のスケーリングされたバージョンとなる関数のことです。つまり、 $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$ ここでfは固有関数であり、${\displaystyle \lambda }$は固有値であり、定数です。

指数関数${\displaystyle Ae^{st}}$、 どこ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$は、線形かつ時間不変な演算子の固有関数です。簡単な証明でこの概念を説明します。入力が であると仮定します。${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$インパルス応答を伴うシステムの出力${\displaystyle h(t)}$すると $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau }$$ これは、畳み込みの可換性により、以下と同等である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\,\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda }\,,\\\end{aligned}}}$$

スカラー $${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$ はパラメータsのみに依存します。

つまり、システムの応答は入力のスケーリング版である。特に、任意の${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$システムの出力は入力の積である${\displaystyle Ae^{st}}$そして一定の${\displaystyle H(s)}$したがって、${\displaystyle Ae^{st}}$はLTIシステムの固有関数であり、対応する固有値は${\displaystyle H(s)}$。

指数関数の固有関数特性は、LTIシステムの解析と理解の両方に非常に役立ちます。片側ラプラス変換$${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$ これは、インパルス応答から固有値を取得する正確な方法です。特に興味深いのは、純粋な正弦波（つまり、次の形式の指数関数）です。${\displaystyle e^{j\omega t}}$どこ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$そして${\displaystyle j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}}$)フーリエ変換${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$純粋な複素正弦波の固有値を示します。${\displaystyle H(s)}$そして${\displaystyle H(j\omega )}$これらはシステム関数、システム応答、または伝達関数と呼ばれます。

ラプラス変換は通常、片側信号、つまりある値より小さいすべてのtの値に対してゼロとなる信号の文脈で使用されます。通常、便宜上、また一般性を失うことなく、この「開始時間」はゼロに設定され、変換積分はゼロから無限大まで行われます（上記のように、積分の下限が負の無限大である変換は、正式には両側ラプラス変換として知られています）。

フーリエ変換は、変調された正弦波など、無限に広がる信号を処理するシステムを解析するために使用されますが、二乗可積分でない入出力信号には直接適用できません。ラプラス変換は、開始時刻より前にゼロであれば、二乗可積分でなくても、安定したシステムであればこれらの信号に直接適用できます。フーリエ変換は、 信号のフーリエ変換が存在しない場合でも、ウィーナー・ヒンチン定理を介して無限信号のスペクトルに適用されることがよくあります。

これら2つの変換の畳み込み特性により、変換が存在する信号が与えられた場合、システムの出力を与える畳み込みは変換領域での乗算に変換できる。 $${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}$$

システム応答を直接使用することで、そのラプラス変換を持つシステムが特定の周波数成分をどのように処理するかを判断できます。システム応答（インパルス応答のラプラス変換）を複素周波数s = jω ( ω = 2πf )で評価すると、周波数fのシステムゲインである| H ( s )| が得られます。同様に、その周波数成分の出力と入力間の相対位相シフトは arg( H ( s ))で与えられます。

システムの最も重要な特性のいくつかとして、因果律と安定性が挙げられる。因果律は、独立変数が時間である物理システムにとって不可欠であるが、画像処理などの他のシステムではこの制約は存在しない。

多くの場合、離散時間（DT）システムは、より大きな連続時間（CT）システムの一部です。例えば、デジタル録音システムは、アナログ音を取り込み、デジタル化し、場合によってはデジタル信号を処理し、人々が聞くためのアナログ音を再生します。

実際のシステムでは、取得されるDT信号は通常、CT信号を均一にサンプリングしたバージョンです。${\displaystyle x(t)}$これがCT信号である場合、アナログ-デジタル変換器の前で使用されるサンプリング回路はそれをDT信号に変換します。 $${\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}$$ ここで、Tはサンプリング周期です。サンプリング前に、入力信号は通常、いわゆるナイキストフィルタを通過します。このフィルタは、「折り返し周波数」1/(2T) を超える周波数を除去します。これにより、フィルタリングされた信号の情報が失われないことが保証されます。フィルタリングを行わない場合、 DT 信号は折り返し周波数より低い周波数成分しかサポートできないため、折り返し周波数 (またはナイキスト周波数)を超える周波数成分は別の周波数にエイリアシングされ(元の信号が歪む) ます。

させて${\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}$シーケンスを表す${\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}$

そして、より短い表記法では${\displaystyle \{x\}}$代表する${\displaystyle \{x[m];\ m\}.}$

離散システムは入力シーケンスを変換し、${\displaystyle \{x\}}$出力シーケンスに、${\displaystyle \{y\}.}$一般に、出力のすべての要素は入力のすべての要素に依存する可能性があります。変換演算子を次のように表します。${\displaystyle O}$次のように書くことができます。 $${\displaystyle y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.}$$

変換自体がnによって変化しない限り、出力シーケンスは定数となり、システムは興味深いものではなくなることに注意してください。（そのため、添え字nが付いています。）典型的なシステムでは、y [ n ] は、インデックスがnに近いxの要素に最も大きく依存します。

クロネッカーデルタ関数の特殊なケースでは、${\displaystyle x[m]=\delta [m],}$出力シーケンスはインパルス応答です。 $${\displaystyle h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.}$$

線形システムの場合、${\displaystyle O}$以下の条件を満たす必要があります：

そして、時間不変性の要件は次のとおりです。

このようなシステムでは、インパルス応答は、${\displaystyle \{h\}}$これはシステムを完全に特徴づけるものです。つまり、任意の入力シーケンスに対して、出力シーケンスは入力とインパルス応答を用いて計算できます。その方法を見るために、次の恒等式を考えてみましょう。 $${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],}$$

これは表現している${\displaystyle \{x\}}$重み付きデルタ関数の和という観点から。

したがって： $${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}$$

ここで、式4を呼び出したのは${\displaystyle c_{k}=x[k]}$そして${\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]}$。

式5により、次のように書くことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}}$$

したがって：

これは、おなじみの離散畳み込みの公式です。${\displaystyle O_{n}}$したがって、関数x [ k ] の加重平均に比例すると解釈できます。加重関数はh [− k ] であり、単にn だけシフトされています。n が変化すると、加重関数は入力関数の異なる部分を強調します。同様に、 n = 0でのインパルスに対するシステムの応答は、シフトされていない加重関数の「時間」反転コピーです。すべての負のkに対してh [ k ] がゼロの場合、システムは因果的であると言われます。

固有関数とは、演算子の出力が定数倍された同じ関数となる関数のことです。記号で表すと、 $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$

ここでfは固有関数であり、${\displaystyle \lambda }$は固有値であり、定数です。

指数関数${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$、 どこ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$は、線形かつ時間不変な演算子の固有関数である。${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$はサンプリング間隔であり、${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$この概念を説明する簡単な証明がある。

入力が${\displaystyle x[n]=z^{n}}$インパルス応答を伴うシステムの出力${\displaystyle h[n]}$すると $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$$

これは畳み込みの交換法則により、以下と同等である。$${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$$ どこ $${\displaystyle H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$$ はパラメータzのみに依存します。

それで${\displaystyle z^{n}}$これはLTIシステムの固有関数です。なぜなら、システムの応答は入力に定数を掛けたものと同じだからです。${\displaystyle H(z)}$。

指数関数の固有関数特性は、LTIシステムの解析と理解の両方に非常に役立ちます。Z変換$${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$$

これは、インパルス応答から固有値を取得する正確な方法です。 特に興味深いのは純粋な正弦波、つまり次の形式の指数関数です。${\displaystyle e^{j\omega n}}$、 どこ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$これらは次のように書くこともできます。${\displaystyle z^{n}}$と${\displaystyle z=e^{j\omega }}$離散時間フーリエ変換（DTFT）${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$純粋な正弦波の固有値を与えます。${\displaystyle H(z)}$そして${\displaystyle H(e^{j\omega })}$これらはシステム関数、システム応答、または伝達関数と呼ばれます。

片側ラプラス変換と同様に、Z変換は通常、片側信号、つまりt<0でゼロとなる信号の文脈で使用されます。離散時間フーリエ変換のフーリエ級数は、周期信号の解析に使用できます。

これら2つの変換は畳み込みの性質を持つため、システムの出力となる畳み込みは、変換領域における乗算に変換できます。つまり、 $${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}$$

連続時間システム解析におけるラプラス変換伝達関数と同様に、Z変換を用いることでシステムの解析が容易になり、その挙動についての理解を深めることができる。

離散時間LTIシステムの入出力特性は、そのインパルス応答によって完全に記述される。${\displaystyle h[n]}$システムの最も重要な特性のうち2つは、因果性と安定性です。時間的に非因果的なシステムは上記のように定義および分析できますが、リアルタイムで実現することはできません。不安定なシステムも分析および構築できますが、全体的な伝達関数が安定しているより大きなシステムの一部としてのみ有用です。