均一ノルム

数学的解析では、一様ノルム（またはsup norm ) は、集合⁠⁠ 上で定義された実または複素数値の有界関数 ⁠⁠${\displaystyle f}$非負の 。 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.}$

この規範は、最高規範、チェビシェフノルム、無限大ノルム、または、最大値が実際に最大値である場合、最大ノルム。「一様ノルム」という名前は、関数の列⁠⁠ が${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$一様ノルムから導かれる計量の下で⁠⁠${\displaystyle f}$に収束する場合のみ、⁠⁠ が一様に⁠⁠に収束する。^[1] ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

⁠ ⁠ が${\displaystyle f}$閉区間、またはより一般的にはコンパクト集合上の連続関数である場合、それは有界であり、上記の定義の上限はワイエルシュトラスの極値定理によって達成されるため、上限を最大値に置き換えることができます。この場合、ノルムは最大ノルム。特に、⁠⁠ が${\displaystyle x}$有限次元座標空間で次の形をとるベクトルである、それは次の形式になります。 ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

これは-ノルムと呼ばれます。 ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

一般に、一様ノルムは、ノルム空間に値を持つ有界関数に対して定義されます。を集合とし、 をノルム空間とします。 から までの関数の集合には、次のように定義される拡張ノルムがあります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}\in [0,\infty ].}$

関数は有界でない可能性があるため、これは一般に拡張ノルムです。この拡張ノルムを有界関数（つまり、拡張ノルムより上が有限である関数）に制限すると、上の均一ノルムと呼ばれる（有限値の）ノルムが生成されます。均一ノルムの定義は、集合 上の追加の構造に依存しないことに注意してください。ただし、実際には は少なくとも位相空間であることが多いです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

一様拡張ノルムによって誘導される位相における への収束は、 上のシーケンスに対して一様収束 であり、上のネットやフィルタに対しても一様収束です。 ${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle Y^{X}}$

この計量位相に関して、閉集合と集合の閉包を定義することができる。一様ノルムの閉集合は一様閉包とも呼ばれ、閉包は一様閉包と呼ばれる。関数集合 A の一様閉包とは、一様収束する関数の列で近似できるすべての関数の空間である。例えば、ストーン・ワイエルシュトラスの定理の1つの言い換えは、上のすべての連続関数の集合は、上の多項式集合の一様閉包である、ということである。${\displaystyle A.}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b].}$

コンパクト空間上の複素連続関数の場合、これはC* 代数に変換されます( Gelfand 表現を参照)。

集合から距離空間への2つの有界関数間の一様距離は次のように定義される。 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$

均一メトリックは、チェビシェフ計量 は、これを体系的に研究した最初の人物であるパフヌティ・チェビシェフある定数関数場合に、厳密に有界となります。有界でない関数を許容する場合、この式は厳密な意味でのノルムや計量をもたらさないものの、得られたいわゆる拡張計量、問題の関数空間上の位相を定義することはできます。この場合、収束は依然として一様。特に、シーケンスが関数に一様収束するのは、次の場合のみです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle d(f,g)}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle \left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }d(f_{n},f)=0.\,}$$

がノルム空間である場合、それは自然な方法で計量空間である。一様拡張ノルムによって誘導される 上の拡張計量は、一様拡張計量と同じである。 ${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}\|f(x)-g(x)\|_{Y}}$

の上${\displaystyle Y^{X}}$

を集合とし、を一様空間とする。からへの関数の列が関数に一様収束するとは、各側近に対して、および のいずれの場合でもが に属する自然数が存在する場合を言う。ネットについても同様である。これは 上の位相における収束である。実際、集合 ${\displaystyle X}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}_{Y}}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle (f_{n}(x),f(x))}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle \{(f,g)\colon \forall x\in X\colon (f(x),g(x))\in E\}}$

ここで、の周囲を通る は、上の一様性の周囲の基本システムを形成し、上の一様収束の一様性と呼ばれます。一様収束は、その一様位相の下での収束とまったく同じです。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle Y^{X}}$

が距離空間である場合、それはデフォルトで距離一様性を備えています。一様拡張距離に関する 上の距離一様性は、 上の一様収束の一様性です。 ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle Y^{X}}$

無限大ノルムが与えられた定数であるベクトルの集合は、辺の長さが ${\displaystyle c,}$${\displaystyle 2c.}$

下付き文字「 」の理由は、が連続であり、ある に対して である場合、 が の定義域で ある とき に、 が離散集合である場合に積分は和になるからです( pノルムを参照)。 ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Vert f\Vert _{p}<\infty }$${\displaystyle p\in (0,\infty )}$$${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$

• L無限大 – 有界シーケンスの空間
• 均一な連続性 – 機能の変化の均一な抑制
• 均一空間 – 均一な性質の概念を持つ位相空間
• チェビシェフ距離 – 数学的測定基準