標準確率空間

An isomorphism between two probability spaces ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$, ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$ is an invertible map ${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ such that ${\displaystyle \textstyle f}$ and ${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$ both are (measurable and) measure preserving maps.

Two probability spaces are isomorphic if there exists an isomorphism between them.

Two probability spaces ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$, ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$ are isomorphic ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$ if there exist null sets${\displaystyle \textstyle A_{1}\subset \Omega _{1}}$, ${\displaystyle \textstyle A_{2}\subset \Omega _{2}}$ such that the probability spaces ${\displaystyle \textstyle \Omega _{1}\setminus A_{1}}$, ${\displaystyle \textstyle \Omega _{2}\setminus A_{2}}$ are isomorphic (being endowed naturally with sigma-fields and probability measures).

A probability space is standard, if it is isomorphic ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$ to an interval with Lebesgue measure, a finite or countable set of atoms, or a combination (disjoint union) of both.

See (Rokhlin 1952, Sect. 2.4 (p. 20)), (Haezendonck 1973, Proposition 6 (p. 249) and Remark 2 (p. 250)), and (de la Rue 1993, Theorem 4-3). See also (Kechris 1995, Sect. 17.F), and (Itô 1984, especially Sect. 2.4 and Exercise 3.1(v)). In (Petersen 1983, Definition 4.5 on page 16) the measure is assumed finite, not necessarily probabilistic. In (Sinai 1994, Definition 1 on page 16) atoms are not allowed.

The space of all functions ${\displaystyle \textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ may be thought of as the product ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ of a continuum of copies of the real line ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$. One may endow ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$ with a probability measure, say, the standard normal distribution${\displaystyle \textstyle \gamma =N(0,1)}$, and treat the space of functions as the product ${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$ of a continuum of identical probability spaces ${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )}$. The product measure${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$ is a probability measure on ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$. Naively it might seem that ${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$ describes white noise.

However, the integral of a white noise function from 0 to 1 should be a random variable distributed N(0, 1). In contrast, the integral (from 0 to 1) of ${\displaystyle \textstyle f\in \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$ is undefined. ƒ also fails to be almost surely measurable, and the probability of ƒ being measurable is undefined. Indeed, if X is a random variable distributed (say) uniformly on (0, 1) and independent of ƒ, then ƒ(X) is not a random variable at all (it lacks measurability).

Let ${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$ be a set whose inner Lebesgue measure is equal to 0, but outer Lebesgue measure is equal to 1 (thus, ${\displaystyle \textstyle Z}$極端に測定不可能である。確率測度が存在する${\displaystyle \textstyle m}$の上${\displaystyle \textstyle Z}$そのため${\displaystyle \textstyle m(Z\cap A)=\オペレータ名 {mes} (A)}$すべてのルベーグ測定可能${\displaystyle \textstyle A\subset (0,1)}$。 （ここ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mes} }$（はルベーグ測度である。）確率空間上の事象と確率変数${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$（治療済み）${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$確率空間上の事象および確率変数と自然な一対一対応関係にある。 ${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$確率空間は${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$と同じくらい良い${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$。

しかし、そうではない。ランダム変数${\displaystyle \textstyle X}$定義される${\displaystyle \textstyle X(\omega )=\omega }$は均一に分布しています${\displaystyle \textstyle (0,1)}$条件付き尺度、${\displaystyle \textstyle X=x}$は、単一の原子です（${\displaystyle \textstyle x}$ただし、${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$は基礎となる確率空間です。ただし、${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$が代わりに使用される場合、条件付き尺度は存在しません。${\displaystyle \textstyle x\notin Z}$。

穴の開いた円も同様に構築されます。その事象と確率変数は通常の円と同じです。回転群はそれらに自然に作用します。しかし、穴の開いた円には作用しません。

（ルドルフ 1990、17ページも参照）

させて${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$前の例と同じである。次の形式の集合${\displaystyle \textstyle (A\cap Z)\cup (B\setminus Z),}$どこ${\displaystyle \textstyle A}$そして${\displaystyle \textstyle B}$は任意のルベーグ可測集合であり、σ代数である。${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}};}$ルベーグσ代数と${\displaystyle \textstyle Z.}$式

${\displaystyle \displaystyle m{\big (}(A\cap Z)\cup (B\setminus Z){\big )}=p\,\operatorname {mes} (A)+(1-p)\operatorname {mes} (B)}$

確率測度の一般形を示す${\displaystyle \textstyle m}$の上${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}}{\big )}}$これはルベーグ測度を拡張するものであり、${\displaystyle \textstyle p\in [0,1]}$はパラメータです。具体的には、${\displaystyle \textstyle p=0.5.}$ルベーグ測度のこのような拡張は、少なくとも無害であるように思えるかもしれない。

しかし、それは偽装された穴あき区間である。地図

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0.5x&{\text{for }}x\in Z,\\0.5+0.5x&{\text{for }}x\in (0,1)\setminus Z\end{cases}}}$

は同型写像である${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}},m{\big )}}$そして、セットに対応する穴の開いた間隔

${\displaystyle \displaystyle Z_{1}=\{0.5x:x\in Z\}\cup \{0.5+0.5x:x\in (0,1)\setminus Z\}\,,}$

内側のルベーグ測度は0だが、外側のルベーグ測度は1という別のセット。

（ルドルフ 1990、18ページの演習2.11も参照） 。

測定可能な関数${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$前進を促す措置${\displaystyle f_{*}P}$、－確率測度${\displaystyle \textstyle \mu }$の上${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ,}$定義される

${\displaystyle \displaystyle \mu (B)=(f_{*}P)(B)=P{\big (}f^{-1}(B){\big )}}$  ボレル集合の場合 ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} .}$

すなわち、確率変数の分布${\displaystyle f}$.画像${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$常に完全な外側尺度のセットであり、

${\displaystyle \displaystyle \mu ^{*}{\big (}f(\Omega ){\big )}=\inf _{B\supset f(\Omega )}\mu (B)=\inf _{B\supset f(\Omega )}P(f^{-1}(B))=P(\Omega )=1,}$

しかし、その内部寸法は異なる場合があります（穴の開いた間隔を参照）。言い換えれば、${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$ need not be a set of full measure${\displaystyle \textstyle \mu .}$

A measurable function ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ is called generating if ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$ is the completion with respect to ${\displaystyle P}$ of the σ-algebra of inverse images ${\displaystyle \textstyle f^{-1}(B),}$ where ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$ runs over all Borel sets.

Caution.  The following condition is not sufficient for ${\displaystyle \textstyle f}$ to be generating: for every ${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}}$ there exists a Borel set ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$ such that ${\displaystyle \textstyle P(A{\mathbin {\Delta }}f^{-1}(B))=0.}$ (${\displaystyle \textstyle \Delta }$ means symmetric difference).

Theorem. Let a measurable function ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ be injective and generating, then the following two conditions are equivalent:

• ${\displaystyle \mu (\textstyle f(\Omega ))=1}$ (i.e. the inner measure has also full measure, and the image ${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$ is measureable with respect to the completion);
• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$ is a standard probability space.

See also (Itô 1984, Sect. 3.1).

The same theorem holds for any ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ (in place of ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$). A measurable function ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\,}$ may be thought of as a finite sequence of random variables ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,}$ and ${\displaystyle f\,}$ is generating if and only if ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ is the completion of the σ-algebra generated by ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}.\,}$

The theorem still holds for the space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$ of infinite sequences. A measurable function ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty }\,}$ may be thought of as an infinite sequence of random variables ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots$ :\Omega \to \mathbb {R} ,\,} and ${\displaystyle f\,}$ is generating if and only if ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ is the completion of the σ-algebra generated by ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots .\,}$

In particular, if the random variables ${\displaystyle X_{n}\,}$ take on only two values 0 and 1, we deal with a measurable function ${\displaystyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }\,}$ and a sequence of sets ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.\,}$ The function ${\displaystyle f\,}$ is generating if and only if ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ is the completion of the σ-algebra generated by ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots .\,}$

In the pioneering work (Rokhlin 1952) sequences ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \,}$ that correspond to injective, generating ${\displaystyle f\,}$ are called bases of the probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$ (see Rokhlin 1952, Sect. 2.1). A basis is called complete mod 0, if ${\displaystyle f(\Omega )\,}$ is of full measure ${\displaystyle \mu ,\,}$ see (Rokhlin 1952, Sect. 2.2). In the same section Rokhlin proved that if a probability space is complete mod 0 with respect to some basis, then it is complete mod 0 with respect to every other basis, and defines Lebesgue spaces by this completeness property. See also (Haezendonck 1973, Prop. 4 and Def. 7) and (Rudolph 1990, Sect. 2.3, especially Theorem 2.2).

The four cases treated above are mutually equivalent, and can be united, since the measurable spaces ${\displaystyle \mathbb {R} ,\,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$ and ${\displaystyle \{0,1\}^{\infty }\,}$ are mutually isomorphic; they all are standard measurable spaces (in other words, standard Borel spaces).

Existence of an injective measurable function from ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ to a standard measurable space ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$ does not depend on the choice of ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$ Taking ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$ we get the property well known as being countably separated (but called separable in Itô 1984).

Existence of a generating measurable function from ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ to a standard measurable space ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$また、選択に依存しない${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$取${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$可算生成（mod 0）というよく知られた性質が得られます（Durrett 1996 、演習 I.5 を参照）。

標準確率空間から標準可測空間へのすべての単射可測関数は生成関数である。（Rokhlin 1952 、第2.5節）、（Haezendonck 1973、253ページの系2）、（de la Rue 1993 、定理3-4および3-5）を参照。この性質は、上記の「余剰可測集合」の項で扱われている非標準確率空間には当てはまらない。

注意。 可算生成性は mod 0 同型写像の下で不変ですが、可算分離性は不変ではありません。実際、標準確率空間は${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$は、濃度が${\displaystyle \textstyle \Omega }$連続体を超えない（伊藤 1984 、演習 3.1(v) を参照）。標準確率空間は任意の濃度の空集合を含むことができるため、可算分離である必要はない。しかし、常に全測度の可算分離部分集合を含む。

意味。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$可算に分離可能で、可算に生成され、絶対的に測定可能であれば、標準的である。

（ロクリン 1952 、第 2.3 節の末尾）および（ヘーゼンドンク 1973、248ページの注釈 2）を参照。「絶対的に測定可能」とは、それを含む可算に分離され、可算に生成されるすべての確率空間で測定可能であることを意味する。

意味。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$可算に分離可能で完全である場合、それは標準である。

（伊藤 1984 、第3.1節）を参照。「完全」とは、からのすべての可測関数について${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$に${\displaystyle \mathbb {R} \,}$イメージ尺度は正則である。（ここでイメージ尺度は、逆像がに属するすべての集合上で定義される。）${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$ボレル構造に関係なく${\displaystyle \mathbb {R} \,}$)

意味。 ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$トポロジーが存在する場合は標準です${\displaystyle \textstyle \tau }$の上${\displaystyle \textstyle \Omega }$そのため

• 位相空間${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$計量可能である。
• ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$は、によって生成されたσ代数の完成である。${\displaystyle \textstyle \tau }$（つまり、すべての開集合によって）
• すべての${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$コンパクト集合が存在する${\displaystyle \textstyle K}$で${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$そのため${\displaystyle \textstyle P(K)\geq 1-\varepsilon .}$

( de la Rue 1993 、セクション 1)を参照してください。

離散的な設定では、条件付き確率は別の確率測度であり、条件付き期待値は条件付き測度に関する（通常の）期待値として扱うことができます（条件付き期待値を参照）。非離散的な設定では、条件の確率が 0 になる可能性があるため、条件付けは間接的に扱われることがよくあります（条件付き期待値を参照） 。その結果、多くのよく知られた事実には特別な「条件付き」の対応物があります。例えば、期待値の線形性、イェンセンの不等式（条件付き期待値を参照）、ヘルダーの不等式、単調収束定理などです。

確率変数が与えられた場合${\displaystyle \textstyle Y}$確率空間において${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$条件付き尺度を構築しようとするのは自然なことである${\displaystyle \textstyle P_{y}}$つまり、条件付き分布${\displaystyle \textstyle \omega \in \Omega }$与えられた${\displaystyle \textstyle Y(\omega )=y}$一般にこれは不可能である（Durrett 1996 、第4.1節(c)を参照）。しかし、標準的な確率空間では${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$これは可能であり、正準測度体系（ Rokhlin 1952 、第3.1節参照）としてよく知られており、基本的には条件付き確率測度（Itô 1984 、第3.5節参照）、測度の分解（ Kechris 1995 、演習（17.35）参照）、および通常の条件付き確率（Durrett 1996 、第4.1節（c）参照）と同じです。

条件付きイェンセンの不等式は、（通常の）イェンセンの不等式を条件付き測度に適用したものです。これは他の多くの事実にも当てはまります。

2つの確率空間が与えられた場合${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$、${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$そして尺度保存マップ${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$、画像${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$全体を覆う必要はない${\displaystyle \textstyle \Omega _{2}}$ヌルセットを見落とす可能性があります。${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))}$は 1 と等しくなければならないが、そうではない。${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$は 1 に等しいが、内部の尺度は異なる可能性がある。ただし、確率空間が${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$、${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$標準は​${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))=1}$（de la Rue 1993 、定理3-2を参照） 。${\displaystyle \textstyle f}$も1対1で、その後すべて${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}_{1}}$満たす${\displaystyle \textstyle f(A)\in {\mathcal {F}}_{2}}$、${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(A))=P_{1}(A)}$。 したがって、${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$は測定可能であり、（測度保存的である）。（Rokhlin 1952 、第2.5節（20ページ））および（de la Rue 1993 、定理3-5）を参照。また、（Haezendonck 1973 、命題9（およびその後の注釈））も参照。

「測度空間において測度0の集合を無視する首尾一貫した方法が存在する」（Petersen 1983、15ページ）。数学者は、空集合を排除するために、可測集合または可測関数の同値類をしばしば用いる。確率空間の可測部分集合の同値類は、測度代数（または距離構造）と呼ばれるノルム付き完全ブール代数を形成する。すべての測度保存写像は、${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$準同型写像につながる${\displaystyle \textstyle F}$測度代数の; 基本的に、${\displaystyle \textstyle F(B)=f^{-1}(B)}$のために${\displaystyle \textstyle B\in {\mathcal {F}}_{2}}$。

測度代数のすべての準同型写像は、何らかの測度保存写像に対応しなければならないように思えるかもしれないが、そうではない。しかし、標準確率空間では、${\displaystyle \textstyle F}$いくつかに対応する${\displaystyle \textstyle f}$（Rokhlin 1952 、第2.6節（23ページ）および第3.2節）、（Kechris 1995 、第17.F節）、（Petersen 1983、17ページの定理4.7）を参照。