測定不可能な集合

数学において、非可測集合とは、意味のある「体積」を割り当てることができない集合のことである。このような集合の存在は、形式集合論における長さ、面積、体積の概念に関する情報を提供するものと解釈される。ツェルメロ＝フレンケル集合論では、選択公理により、非可測部分集合は、${\displaystyle \mathbb {R} }$存在する。

非可測集合の概念は、導入以来、大きな論争の的となってきた。歴史的に見ると、このことがボレルとコルモゴロフが可測集合を前提とした確率論を定式化するきっかけとなった。直線上の可測集合は、区間（ボレル集合と呼ばれる）の反復可算和集合と積集合、および零集合である。これらの集合は、標準的な数学で現れる集合のあらゆる定義を包含するほど豊富であるが、集合が可測であることを証明するには多くの形式主義が必要となる。

1970年、ロバート・M・ソロベイはソロベイ・モデルを構築し、非可算選択のない標準集合論と整合し、実数のすべての部分集合が可測であることを示した。しかし、ソロベイの結果は到達不可能な基数の存在に依存しており、その存在と整合性は標準集合論では証明できない。

任意の集合の長さを定義する際に問題が生じる可能性があるという最初の兆候は、ヴィタリの定理から得られた。^{[ 1 ]}ロビン・トーマスによる非ルベーグ可測集合の構成に類似した、いくつかの追加特性を持つより最近の組合せ論的構成が、American Mathematical Monthly に掲載された。^{[ 2 ]}

互いに素な2つの集合の和集合の測度は、それぞれの集合の測度の和になると考えられる。このような自然な性質を持つ測度は、有限加法性と呼ばれる。有限加法性は面積の直観を理解する上で十分であり、リーマン積分に類似しているが、確率論においては不十分であると考えられている。なぜなら、事象の系列や確率変数の現代的な扱い方では、可算加法性が求められるからである。

この点において、平面は直線に似ています。すべての等長変換の下で不変な、ルベーグ測度を拡張した有限加法測度が存在します。高次元になると状況は悪化します。ハウスドルフのパラドックスとバナッハ・タルスキーのパラドックスは、半径1の3次元球を5つの部分に分割でき、それらを再構成して半径1の2つの球を形成できることを示しています。

考慮する${\displaystyle S,}$単位円内のすべての点の集合、およびそれに対する作用${\displaystyle S}$グループによって${\displaystyle G}$すべての有理回転（角度が有理倍数である回転）から構成される${\displaystyle \pi }$）。 ここ${\displaystyle G}$は可算名詞です（より具体的には、${\displaystyle G}$は同型である${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$） その間${\displaystyle S}$は数えられない。したがって${\displaystyle S}$数えきれないほどの軌道に分裂する${\displaystyle G}$（軌道${\displaystyle s\in S}$可算集合である${\displaystyle \{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}}$選択公理を用いると、各軌道から1点ずつ選択することができ、非可算部分集合が得られる。${\displaystyle X\subset S}$すべての有理数が翻訳されるという性質を持つ（形式の翻訳されたコピー）${\displaystyle e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}}$合理的な理由${\displaystyle q}$）^{[ 3 ]}の${\displaystyle X}$による${\displaystyle G}$ペアごとに互いに素である（つまり、互いに素である）${\displaystyle X}$そして互いに）。これらの変換の集合は、円を可算個の互いに素な集合の集合に分割し、それらはすべて（有理回転によって）互いに合同です。${\displaystyle X}$は、回転不変な可算加法確率測度に対して測定不可能となる。${\displaystyle S}$： もし${\displaystyle X}$ゼロの尺度を持つ場合、可算加法性は円全体がゼロの尺度を持つことを意味する。${\displaystyle X}$正の測度を持つ場合、可算加法性から円の測度は無限であることが示される。

加法群 ( R , +) をその部分群 ( Q , +) の有理数で割った商は、非可測集合の存在を示すためにも使用されてきた。^{[ 4 ]}

バナッハ＝タルスキーのパラドックスは、以下の5つの妥協のうちいずれか1つをしない限り、3次元空間における体積を定義する方法はないことを示している。

1. セットのボリュームは、回転させると変化する可能性がある。
2. 互いに素な2つの集合の和集合の体積は、それぞれの体積の合計とは異なる場合がある。
3. 一部の集合は「測定不可能」と分類されている場合があり、その集合の体積について議論する前に、その集合が「測定可能」かどうかを確認する必要がある。
4. ZFC（選択公理を含むツェルメロ＝フレンケル集合論）の公理は変更する必要があるかもしれない。
5. 量の${\displaystyle [0,1]^{3}}$は${\displaystyle 0}$または${\displaystyle \infty }$。

標準的な測度論では、3番目の選択肢が取られます。可測集合の族を定義しますが、これは非常に豊富で、数学のほとんどの分野で明示的に定義されたほぼすべての集合がこの族に含まれます。幾何学的平面の特定の部分集合が可測であることを証明するのは通常非常に簡単です。基本的な仮定は、互いに素な集合の可算無限列が和の公式を満たすことであり、これはσ加法性 と呼ばれる性質です。

1970年、ソロヴェイは、追加の公理（選択公理など）がない場合、ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組み内ではルベーグ測度の非可測集合の存在は証明できないことを実証した。彼は、（到達不可能な基数の一貫性を仮定して）可算選択が成り立ち、すべての集合がルベーグ可測であり、完全な選択公理が成り立たない、ソロヴェイのモデルと呼ばれるZFのモデルが存在することを示した。

選択公理は、点集合位相の基本定理であるチホノフの定理と等価であり、関数解析の2つの基本定理であるバナッハ＝アラオグルの定理とクライン＝ミルマンの定理の結合とも等価である。また、無限群の研究、環論、順序論にも大きな影響を与える（ブール素イデアル定理を参照）。しかし、決定性公理と依存選択公理を合わせると、ほとんどの幾何学的測度論、ポテンシャル論、フーリエ級数、フーリエ変換に対して十分であり、実数直線のすべての部分集合をルベーグ可測にする。

• バナッハ・タルスキーのパラドックス– 幾何定理 
• カラテオドリの基準― 測度論数学の一部 
• ハウスドルフのパラドックス– 数学におけるパラドックス 
• 測定（数学）－質量、長さ、面積、体積の一般化 
• 非ボレル集合– 数学的集合のクラス リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 外的尺度– 数学的関数 
• ヴィタリ集合– ルベーグ可測でない実数の集合