サンプリング（信号処理）

信号処理において、サンプリングとは連続時間信号を離散時間信号に変換することである。一般的な例としては、音波を「サンプル」のシーケンスに変換することが挙げられる。

サンプルとは、時間的および／または空間的な特定の時点における信号の値のことです。この定義は、統計学におけるサンプルの用法とは異なり、統計学ではそのような値の集合を指します。^{[ A ]}

サンプラーとは、連続信号からサンプルを抽出するサブシステムまたは操作のことである。理論上の理想的なサンプラーは、目的のポイントにおける連続信号の瞬時値に相当するサンプルを生成する。

サンプルのシーケンスを再構成フィルタに通すことで、ナイキスト限界まで元の信号をサンプルのシーケンスから再構成することができる。

空間、時間、あるいはその他の次元の関数はサンプリングすることができ、同様に2次元以上の次元でも可能です。

時間とともに変化する関数については、${\displaystyle s(t)}$はサンプリングされる連続関数（または「信号」）であり、サンプリングは連続関数の値を ごとに測定することによって実行されるものとする。${\displaystyle T}$秒、これはサンプリング間隔またはサンプリング周期と呼ばれます。^{[ 1 ] [ 2 ]}すると、サンプリングされた関数は次のシーケンスで与えられます。

${\displaystyle s(nT)}$整数値の場合${\displaystyle n}$。

サンプリング周波数またはサンプリングレート、${\displaystyle f_{s}}$は1秒間に取得されるサンプルの平均数であり、${\displaystyle f_{s}=1/T}$単位はサンプル/秒で、ヘルツと呼ばれることもあります。たとえば、48  kHz は 48,000サンプル/秒です。

サンプルから連続関数を再構築するには、補間アルゴリズムを使用します。ウィテカー・シャノン補間式は、入力がサンプル値で変調（乗算）されたディラックデルタ関数のシーケンスである理想的なローパスフィルタと数学的に等価です。隣接するサンプル間の時間間隔が一定の場合、${\displaystyle (T)}$デルタ関数の列はディラックの櫛と呼ばれます。数学的には、変調されたディラックの櫛は、櫛関数と${\displaystyle s(t)}$その数学的抽象化は、インパルスサンプリングと呼ばれることもある。^{[ 3 ]}

ほとんどのサンプリングされた信号は、単純に保存されて再構成されるわけではありません。理論的な再構成の忠実度は、サンプリングの有効性を測る一般的な尺度です。その忠実度は、次のような場合に低下します。${\displaystyle s(t)}$には、サイクル長（周期）が 2 サンプル間隔未満の周波数成分が含まれています（エイリアシングを参照）。対応する周波数制限は、サイクル/秒（ヘルツ）で次のようになります。${\displaystyle 0.5}$サイクル/サンプル ×${\displaystyle f_{s}}$サンプル/秒 =${\displaystyle f_{s}/2}$これはサンプラーのナイキスト周波数として知られています。したがって、${\displaystyle s(t)}$これは通常、ローパスフィルタの出力であり、機能的にはアンチエイリアシングフィルタとして知られています。アンチエイリアシングフィルタがない場合、ナイキスト周波数よりも高い周波数は、補間処理によって誤って解釈されるような方法でサンプルに影響を与えます。^{[ 4 ]}

実際には、連続信号はアナログ-デジタル変換器（ADC）を用いてサンプリングされますが、ADCには様々な物理的制約があります。その結果、理論的に完璧な再構成からのずれが生じ、これを総称して歪みと呼びます。

歪みには、以下のような様々な種類があります。

• エイリアシング。理論上の無限に長い関数のみがナイキスト周波数を超える周波数成分を持たないため、ある程度のエイリアシングは避けられません。エイリアシングは、アンチエイリアシングフィルタの次数を十分に大きくすることで、任意に小さくすることができます。
• 開口誤差は、サンプルがサンプリング時点での信号値と等しくなるのではなく、サンプリング領域内の時間平均として取得されるという事実から生じます。^{[ 5 ]}コンデンサベースのサンプルホールド回路では、開口誤差は複数のメカニズムによって発生します。たとえば、コンデンサは入力信号を瞬時に追跡できず、コンデンサは入力信号から瞬時に分離できません。
• ジッター、つまり正確なサンプリングタイミング間隔からのずれ。
• ノイズ（熱センサーノイズ、アナログ回路ノイズなどを含む）。
• スルーレート制限誤差は、ADCの入力値が十分に速く変化できないことが原因で発生します。
• 量子化は、変換された値を表す単語の精度が有限であることに起因する。
• 入力電圧から変換された出力値へのマッピングにおけるその他の非線形効果による誤差（量子化の影響に加えて）。

オーバーサンプリングを用いることで、開口誤差とエイリアシングを通過帯域外にシフトさせることにより、これらを完全に排除することは可能ですが、この技術は数GHzを超える周波数では実用的ではなく、それより低い周波数ではコストが高すぎる場合があります。さらに、オーバーサンプリングは量子化誤差と非線形性を低減することはできますが、これらを完全に排除することはできません。したがって、オーディオ周波数帯における実用的なADCは、通常、エイリアシングや開口誤差を示さず、量子化誤差による制限もありません。その代わりに、アナログノイズが支配的になります。RFおよびマイクロ波周波数帯では、オーバーサンプリングは実用的ではなく、フィルタも高価であるため、開口誤差、量子化誤差、およびエイリアシングが大きな制約となる可能性があります。

ジッター、ノイズ、量子化は、サンプル値に加算されるランダム誤差としてモデル化することで解析されることが多い。積分効果とゼロ次ホールド効果は、ローパスフィルタリングの一種として解析できる。ADCまたはDACの非線形性は、理想的な線形関数マッピングを提案された非線形関数に置き換えることで解析される。

バンドパス信号をナイキスト周波数よりも遅くサンプリングすると、サンプルは高周波信号の低周波エイリアスのサンプルと区別がつかなくなります。これは、バンドパス信号が依然として一意に表現され復元可能であるため、最低周波数エイリアスがナイキスト基準を満たすように意図的に行われることがよくあります。このようなアンダーサンプリングは、バンドパスサンプリング、高調波サンプリング、IFサンプリング、および直接IFからデジタルへの変換としても知られています。^{[ 29 ]}

オーバーサンプリングは、 Whittaker–Shannon補間式のような理想化ではなく、ゼロ次ホールドなどの実用的なデジタル-アナログコンバータによって生じる歪みを低減するために、ほとんどの最新のアナログ-デジタルコンバータで使用されています。^{[ 30 ]}

複素サンプリング（またはI/Qサンプリング）は、2つの異なるが関連する波形を同時にサンプリングし、その結果得られるサンプルのペアを複素数として扱うものです。^{[ C ]} 1つの波形が、$\displaystyle {\hat {s}}(t)}$は、もう一方の波形のヒルベルト変換です。${\displaystyle s(t)}$複素数値関数、${\displaystyle s_{a}(t)\triangleq s(t)+i\cdot {\hat {s}}(t)}$は解析信号と呼ばれ、そのフーリエ変換はすべての負の周波数値に対してゼロになります。この場合、周波数 ≥ Bのない波形のナイキストレートは、 の代わりにB (複素サンプル/秒)に減らすことができます。 ${\displaystyle 2B}$（実数サンプル/秒）。^{[ D ]}より明らかに、等価ベースバンド波形、$\displaystyle s_{a}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {B}{2}}t}}$また、ナイキスト周波数は${\displaystyle B}$なぜなら、そのゼロ以外の周波数成分はすべて区間内にシフトされるからである。${\displaystyle [-B/2,B/2]}$。

上記のように複素数値サンプルを取得することもできますが、実数値波形のサンプルを操作することによっても作成できます。例えば、等価ベースバンド波形は明示的に計算することなく作成できます。$\displaystyle {\hat {s}}(t)}$生成物シーケンスを処理することにより、${\displaystyle \left[s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {B}{2}}Tn}\right]}$, ^{[ E ]}カットオフ周波数が${\displaystyle B/2}$^{[ F ]}出力シーケンスのサンプルを1つおきに計算することで、ナイキストレートの低下に比例してサンプリングレートが低下します。結果として、複素数値のサンプル数は、元の実数サンプル数の半分になります。情報は失われず、元の${\displaystyle s(t)}$必要に応じて波形を復元できます。

• 水晶発振器の周波数
• ダウンサンプリング
• アップサンプリング
• サンプル数
• 多次元サンプリング
• 同相成分と直交成分、およびI/Qデータ
• サンプルレート変換
• デジタル化
• サンプル採取と保管
• ベータエンコーダー
• ケル因子
• ビットレート
• 正規化周波数

• Matt Pharr、Wenzel Jakob、Greg Humphreys著、『Physically Based Rendering: From Theory to Implementation』第3版、Morgan Kaufmann、2016年11月。ISBN 978-0128006450サンプリングに関する章（オンラインで入手可能）は、図解、基本理論、コードサンプルを用いて分かりやすく書かれています。

• サンプリング理論に特化した学術誌
• I/Qデータ入門–なぜI/Qデータが必要なのか？という疑問に答えようとするページです。 
• アナログ信号のサンプリング–シュトゥットガルト大学電気通信研究所のウェブデモによるインタラクティブなプレゼンテーション