順序データ

スティーブンス（1946）は、順序データではカテゴリ間の距離が等しいという仮定が成り立たないため、順序分布の記述や、平均値と標準偏差に基づく推測統計に平均値と標準偏差を用いることは適切ではないと主張した。代わりに、名義データに適した記述統計（ケース数、最頻値、連関係）に加えて、中央値やパーセンタイルなどの位置尺度を用いるべきであるとした。^{[ 3 ]： 678}ノンパラメトリック法は、特に順位付けされた測定値の分析のために開発されたものなど、順序データを含む推測統計に最も適切な手法として提案されている（例：ケンドールのW、スピアマンの順位相関係数など）。^{[ 5 ]： 25-28}ただし、利用可能な統計的手法の範囲が広いため、いくつかの注意点を守れば、順序データにパラメトリック統計を用いることも許容される可能性がある。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 4 ]： 90}

順序データに適した単変量統計量としては、平均値や標準偏差の代わりに、中央値^{[ 9 ]： 59-61、}その他のパーセンタイル（四分位数や十分位数など）^{[ 9 ]： 71}、および四分位偏差[9]：77などが挙げられる。^{順序データに対する1標本}検定には、コルモゴロフ・スミルノフ1標本検定^{[ 5 ]： 51-55、1}標本ラン検定[ ^{5 ] ： 58-64、}および変化点検定^{[ 5 ]： 64-71などがある。}

t検定で平均値の差を検定する代わりに、2 つの独立したサンプルからの順序データの分布の差は、マン・ホイットニー検定^{[ 9 ] : 259–264} 、スミルノフ検定^{[ 9 ] : 253–259}、符号順位検定^{[ 9 ] : 266–269}、符号順位検定^{[ 9 ] : 269–273 を}使用して検定できます。関連するまたは一致する 2 つのサンプルの検定には、符号検定^{[ 5 ] : 80–87}およびウィルコクソン符号順位検定[ ^{5 ] : 87–95}が含まれます。独立サンプルANOVAの代わりに、順序データ^を使用して、順位による分散分析^{[ 9 ] : 367–369}および順序付き代替案の Jonckheere 検定^{[ 5 ] : 216–222 を}実施できます。 2つ以上の関連サンプルに対する検定には、順位によるフリードマンの2要因分散分析^{[ 5 ] : 174–183}と、順序付き対立仮説に対するページ検定^{[ 5 ] : 184–188が}含まれます。2つの順序尺度変数に適した相関尺度には、ケンドールのタウ^{[ 9 ] : 436–439}、ガンマ^{[ 9 ] : 442–443}、rs ^{[ 9} _] ^{: 434–436 、}およびd _yx /d _xy ^{[ 9 ]} : ^{443が含まれます。}

順序データは量的変数とみなすことができます。ロジスティック回帰では、方程式は次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {logit} [P(Y=1)]=\alpha +\beta _{1}c+\beta _{2}x}$

はモデルであり、c はカテゴリ尺度の割り当てられたレベルを取ります。^{[ 1 ] : 189}回帰分析では、順序変数である結果 (従属変数) は、順序ロジットや順序プロビットなどの順序回帰の変種を使用して予測できます。

多重回帰分析/相関分析では、順序データはべき多項式を使用したり、スコアと順位を正規化したりすることで対応できます。^{[ 10 ]}

線形トレンドは、順序データと他のカテゴリ変数との関連性を見つけるためにも使用され、通常は分割表で表されます。変数間の相関係数rは、 -1から1の間にあります。トレンドを検定するには、次の検定統計量を使用します。

${\displaystyle M^{2}=(n-1)r^{2}}$

nはサンプルサイズである。 ^{[ 1 ]： 87}

R は次のようにして見つけることができます$u_1 ≤ u_2 ≤ ... ≤ u_I$行スコアと${\displaystyle v_{1}\leq v_{2}\leq ...\leq v_{I}}$を列スコアとする。${\displaystyle {\bar {u}}\ =\sum _{i}u_{i}p_{i+}}$行スコアの平均である一方${\displaystyle {\bar {v}}\ =\sum _{j}v_{j}p_{j+}}$。 それから${\displaystyle p_{i+}}$は周辺行確率であり、${\displaystyle p_{+j}}$は周辺列確率です。Rは次のように計算されます。

${\displaystyle r={\frac {\sum _{i,j}\left(u_{i}-{\bar {u}}\ \right)\left(v_{j}-{\bar {v}}\ \right)p_{ij}}{\sqrt {\left\lbrack \sum _{i}(u_{i}-{\bar {u}}\ \right)^{2}p_{i+}\rbrack \lbrack \sum _{j}(v_{j}-{\bar {v}}\ )^{2}p_{+j}\rbrack }}}}$

順序データに対しても分類方法が開発されている。データは、各観測値が互いに類似するように異なるカテゴリに分割される。各グループで分散が測定され、最小化されて分類結果が最大化される。分散関数は情報理論で使用される。^{[ 11 ]}

順序データに最も一般的に使用されるモデルは比例オッズモデルであり、次のように定義されます。

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y\leq k)}{Pr(Y>k)}}\right]=\log \left[{\frac {\Pr(Y\leq k)}{1-\Pr(Y\leq k)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

パラメータ$\displaystyle \mu _{k}}$順序データの基本分布を記述する。${\displaystyle \mathbf {x} }$は共変量であり、${\displaystyle \mathbf {\beta } }$これらは共変量の影響を表す係数です。

このモデルは、以下の方法で定義することで一般化できます。${\displaystyle \mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x} }$の代わりに${\displaystyle \mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$これにより、このモデルは名義尺度データ（カテゴリ間に自然な順序がないデータ）だけでなく、順序尺度データにも適したものとなる。しかし、このような一般化は、モデルをデータに適合させることをはるかに困難にする可能性がある。

ベースラインカテゴリモデルは次のように定義されます。

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x} }$

このモデルはカテゴリに順序付けを課さないため、名義データにも順序データにも適用できる。

順序付けられたステレオタイプモデルは次のように定義される。

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=1)}}\right]=\mu _{k}+\phi _{k}\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

ここで、スコアパラメータは次のように制約される。${\displaystyle 0=\phi _{1}\leq \phi _{2}\leq \dots \leq \phi _{q}=1}$。

これは、ベースラインのカテゴリロジットモデルよりも簡潔で、より専門的なモデルです。${\displaystyle \phi _{k}\mathbf {\beta } }$に似ていると考えることができる${\displaystyle \mathbf {\beta } _{k}}$。

順序付けされていないステレオタイプモデルは、順序付けされたステレオタイプモデルと同じ形式ですが、順序付けが課されていません。${\displaystyle \phi _{k}}$このモデルは名義データに適用できます。

適合スコアに注意してください。${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}}$異なるレベルを区別するのがいかに簡単かを示します${\displaystyle Y}$。 もし${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}\approx {\hat {\phi }}_{k-1}}$つまり、共変量の現在のデータセットは${\displaystyle \mathbf {x} }$レベルを区別するための情報はあまり提供されていない${\displaystyle k}$そして${\displaystyle k-1}$しかし、それは必ずしも実際の値を意味するものではない${\displaystyle k}$そして${\displaystyle k-1}$それらは大きく離れています。また、共変量の値が変化すると、その新しいデータに対する適合スコアは${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}}$そして${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k-1}}$そうなると、かなり離れているかもしれない。

隣接カテゴリモデルは次のように定義されます。

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=k+1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x} }$

最も一般的な形式は、Agresti (2010) ^{[ 12 ]}で「比例オッズ形式」と呼ばれ、次のように定義される。

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=k+1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

このモデルは順序データにのみ適用可能です。なぜなら、あるカテゴリから次のカテゴリへの移行確率をモデル化するということは、それらのカテゴリ間に順序が存在することを前提としているからです。

隣接カテゴリロジットモデルは、ベースラインカテゴリロジットモデルの特殊なケースと考えることができます。${\displaystyle \mathbf {\beta } _{k}=\mathbf {\beta } (k-1)}$隣接カテゴリロジットモデルは、順序付きステレオタイプモデルの特殊なケースと考えることもできます。${\displaystyle \phi _{k}\propto k-1}$つまり、${\displaystyle \phi _{k}}$データに基づいて推定するのではなく、事前に定義される。

比例オッズモデルは、他の3つのモデルとは構造が大きく異なり、また根底にある意味も異なります。比例オッズモデルにおける参照カテゴリのサイズは、${\displaystyle k}$、 以来${\displaystyle Y\leq k}$と比較される${\displaystyle Y>k}$一方、他のモデルでは参照カテゴリのサイズは固定されたままで、${\displaystyle Y=k}$と比較される${\displaystyle Y=1}$または${\displaystyle Y=k+1}$。

すべてのモデルには、プロビットリンク関数や相補対数対数リンク関数など、異なるリンク関数を使用するバリエーションが存在する。