相互排他性

論理学や確率論において、2つの事象（または命題）は、同時に起こり得ない場合、互いに排他的または互いに排反であると言います。分かりやすい例として、1回のコイン投げの結果が挙げられます。表か裏のどちらか一方しか出ません。

コイン投げの例では、理論上、両方の結果が網羅的である。つまり、少なくともどちらか一方の結果が発生するので、この 2 つの可能性ですべての可能性が網羅される。^{[ 1 ]}ただし、相互に排他的な事象がすべて網羅的であるとは限りません。たとえば、 6 面サイコロを 1 回振ったときの 1 と 4 という結果は相互に排他的 (両方が同時に発生することはない) ですが、網羅的ではありません (2、3、5、6 など、他の結果も考えられます)。

論理学では、2つの命題${\displaystyle \phi }$そして${\displaystyle \psi }$論理的に同時に真であることは不可能な場合、それらは相互に排他的である。つまり、${\displaystyle \lnot (\phi \land \psi )}$これは同義反復です。2つ以上の命題が相互に排他的であると言うことは、文脈によっては、1.「${\displaystyle \lnot (\phi _{1}\land \phi _{2})\land \lnot (\phi _{1}\land \phi _{3})\land \lnot (\phi _{2}\land \phi _{3})}$1. は同義反復である（複数の命題が真であることは論理的に不可能である）または 2.${\displaystyle \lnot (\phi _{1}\land \phi _{2}\land \phi _{3})}$これは同義反復である（すべての命題が同時に真であることは論理的に不可能である）。「ペアワイズ相互排他的」という用語は常に前者を意味する。

確率論では、事象E ₁、E ₂、 ...、E _nは、いずれかの事象の発生が残りのn  − 1 個の事象の非発生を意味する場合、互いに排他的であると言われます 。したがって、互いに排他的な 2 つの事象が同時に発生することはありません。正式には、${\displaystyle X}$は、与えられた場合に限り、相互に排他的な事象の集合である。${\displaystyle E_{i},E_{j}\in X}$、 もし${\displaystyle E_{i}\neq E_{j}}$それから${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }$結果として、相互排他的な事象は次の性質を持つ。${\displaystyle P(A\cap B)=0}$[ ^{2 ]​}

例えば、 2 色の標準的な 52 枚のカードのデッキでは、クラブは常に黒なので、赤とクラブの両方のカードを引くことは不可能です。デッキから 1 枚のカードを引くと、赤いカード (ハートまたはダイヤ) または黒いカード (クラブまたはスペード) のどちらかが引かれます。AとBが互いに排他的である場合、P ( A ∪ B ) = P( A ) + P( B )となります。^{[ 3 ]}例えば、赤いカードまたはクラブを引く確率を求めるには、赤いカードを引く確率とクラブを引く確率を足し合わせます。標準的な 52 枚のカードのデッキには、赤いカードが 26 枚、クラブが 13 枚あります。26/52 + 13/52 = 39/52 または 3/4。

赤とクラブの両方を引くには、少なくとも2枚のカードを引く必要があります。2回の抽選で両方引く確率は、1枚目のカードを2枚目のカードを引く前に元に戻したかどうかによって異なります。元に戻さない場合は、1枚目のカードを引いた後にカードが1枚少なくなるためです。個々の事象（赤とクラブ）の確率は足し算ではなく掛け算されます。元に戻さずに2回の抽選で赤とクラブを引く確率は、26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652 、つまり13/51です。元に戻すと、確率は26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704、つまり13/52になります。

確率論では、「または」という言葉は、両方の事象が発生する可能性を許容します。一方または両方の事象が発生する確率は P( A ∪ B ) と表記され、一般に P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ) に等しくなります。^{[ 3 ]}したがって、赤いカードまたはキングを引く場合、赤いキング、赤いキング以外のカード、または黒いキングのいずれかを引くことが成功とみなされます。標準的な 52 枚のカードのデッキには、赤いカードが 26 枚、キングが 4 枚あり、そのうち 2 枚が赤なので、赤いカードまたはキングを引く確率は 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52 です。

事象は、起こりうるすべての結果の可能性がそれらの事象によって網羅されている場合、総括的であると言います。つまり、それらの結果のうち少なくとも 1 つは必ず発生します。少なくとも 1 つの事象が発生する確率は 1 に等しくなります。 ^{[ 4 ]}例えば、コインを投げる場合、理論的には 2 つの可能性しかありません。表と裏は総括的事象であり、表または裏のいずれかが 1 つ発生する確率があります。事象は相互排他的かつ総括的である場合があります。^{[ 4 ]}コインを投げる場合、表と裏は相互排他的事象でもあります。1 回の試行 (つまり、コインを 1 回だけ投げる場合) では、両方の結果が発生することはありません。表が出る確率と裏が出る確率を足すと、確率 1 になります。1/2 + 1/2 = 1。^{[ 5 ]}

統計学や回帰分析では、2 つの値しか取れない独立変数をダミー変数と呼びます。たとえば、観測対象が白人の場合は 0、黒人の場合は 1 の値を取ることができます。2 つの値に関連付けられた 2 つのカテゴリは相互に排他的であるため、どの観測も複数のカテゴリに該当することはありません。また、カテゴリは網羅的であるため、すべての観測はいずれかのカテゴリに該当します。場合によっては、3 つ以上のカテゴリがあり、それらはペアごとに相互に排他的で、全体として網羅的であることがあります。たとえば、18 歳未満、18 歳から 64 歳、65 歳以上などです。この場合、ダミー変数のセットが構築され、各ダミー変数は 2 つの相互に排他的で、かつ共同で網羅的なカテゴリを持ちます。この例では、1 つのダミー変数 (D _{1と呼ばれます) は、年齢が 18 未満の場合は 1、}それ以外の場合は 0 になります。 2 番目のダミー変数 (D ₂と呼ばれる) は、年齢が 18 ～ 64 の範囲内であれば 1、そうでなければ 0 になります。この設定では、ダミー変数のペア (D ₁、 D ₂ ) は (1,0) (18 未満)、(0,1) (18 ～ 64 の間)、または (0,0) (65 以上) の値を取ることができます (ただし、(1,1) は、観察対象が 18 未満かつ 18 ～ 64 の間であるという意味で意味をなさないため、取り得ません)。次に、ダミー変数を回帰の独立 (説明) 変数として含めることができます。ダミー変数の数は常にカテゴリの数より 1 つ少なくなります。黒人と白人の 2 つのカテゴリでは、それらを区別するためのダミー変数は 1 つですが、3 つの年齢カテゴリでは、それらを区別するために 2 つのダミー変数が必要です。

このような質的データは従属変数にも使用できます。例えば、研究者は、家族の収入や人種を説明変数として、ある人物が逮捕されるかどうかを予測したいと考えるかもしれません。この場合、説明される変数はダミー変数であり、対象者が逮捕されない場合は0、逮捕された場合は1となります。このような状況では、通常の最小二乗法（基本的な回帰手法）は不十分であると広く考えられており、代わりにプロビット回帰またはロジスティック回帰が使用されます。さらに、従属変数には、例えば、起訴なし、起訴あり、死刑判決など、3つ以上のカテゴリがある場合もあります。この場合、多項プロビットまたは多項ロジット手法が使用されます。

• 逆説
• 二分法
• 互いに素な集合
• ダブルバインド
• イベント構造
• 矛盾語法
• シンクロニシティ
• MECE原則（相互排他的かつ網羅的）

• ウィットロック、マイケル・C.、シュルター、ドルフ（2008）。生物学的データの分析。ロバーツ社。ISBN 978-0-9815194-0-1。
• Lind, Douglas A.; Marchal, William G.; Wathen, Samuel A. (2003).ビジネスと経済のための基礎統計学（第4 版）. ボストン：McGraw-Hill. ISBN 0-07-247104-2。