アダマール積（行列）

数学において、アダマール積（要素ごとの積、エントリごとの積^{[ 1 ]：第5章、}またはシュール積とも呼ばれる）^{[ 2 ]}は、同じ次元の2つの行列を入力として受け取り、対応する要素を乗算した行列を返す二項演算です。この演算は「単純な行列乗算」と考えることができ、行列積とは異なります。これは、フランスの数学者ジャック・アダマールまたはロシアの数学者イサイ・シュールのいずれかに由来し、その名が付けられています。

アダマール積は結合法則と分配法則を満たす。行列積とは異なり、交換法則も満たす。^{[ 3 ]}

同じ次元m × nの 2 つの行列AとBに対して、アダマール積は${\displaystyle A\odot B}$（時々${\displaystyle A\circ B}$) ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}はオペランドと同じ次元の行列で、要素は^{[ 3 ]で与えられます。}

${\displaystyle (A\odot B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.}$

異なる次元の行列（m × nとp × q、ただしm ≠ pまたはn ≠ q）の場合、アダマール積は定義されません。

 任意の2 ×  3行列2つに対するアダマール積の例：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&1\\0&8&-2\end{bmatrix}}\odot {\begin{bmatrix}3&1&4\\7&9&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 3&3\times 1&1\times 4\\0\times 7&8\times 9&-2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&3&4\\0&72&-10\end{bmatrix}}.}$

• アダマール積は、可換環を扱う場合、可換性、結合性、および加法に関する分配法則を満たします。つまり、A、B、Cが同じサイズの行列で、kがスカラーである場合、次のようになります。$${\displaystyle {\begin{aligned}A\odot B&=B\odot A,\\A\odot (B\odot C)&=(A\odot B)\odot C,\\A\odot (B+C)&=A\odot B+A\odot C,\\(kA)\odot B&=A\odot (kB)=k(A\odot B),\\A\odot 0&=0\odot A=0.\end{aligned}}}$$
• 2 つのm × n行列のアダマール乗算における単位行列は、すべての要素が 1 に等しいm × n行列です。これは、通常の行列乗算における単位行列とは異なります。通常の行列乗算では、主対角要素のみが 1 に等しくなります。さらに、行列がアダマール乗算において逆行列を持つのは、すべての要素が可逆である場合、または体上では、どの要素も 0 に等しくない場合のみです。^{[ 7 ]}
• ベクトルxとy、およびこれらのベクトルを主対角成分とする対応する対角行列D _xとD _yに対して、次の恒等式が成り立つ。^{[ 1 ] : 479}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}(A\odot B)\mathbf {y} =\演算子名 {tr} \left({D}_{\mathbf {x} }^{*}A{D}_{\mathbf {y} }{B}^{\mathsf {T}}\right),}$$ここで、x ^{* は}xの共役転置を表します。特に、1 のベクトルを使用すると、これは、アダマール積のすべての要素の合計がAB ^Tのトレースであることを示しています。ここで、上付き文字 T は行列の転置を表します。つまり、${\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {1} ^{\mathsf {T}}\left(A\odot B\right)\mathbf {1} }$正方形AとBに関する関連結果として、それらのアダマール積の行和はAB ^Tの対角要素である: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \sum _{i}(A\odot B)_{ij}=\left(B^{\mathsf {T}}A\right)_{jj}=\left(AB^{\mathsf {T}}\right)_{ii}.}$$同様に、$${\displaystyle (\mathbf {y} \mathbf {x} ^{*})\odot A=D_{\mathbf {y} }AD_{\mathbf {x} }^{*}.}$$さらに、アダマール行列とベクトルの積は次のように表すことができます。$${\displaystyle (A\odot B)\mathbf {y} =\演算子名 {diag} (AD_{\mathbf {y} }B^{\mathsf {T}}),}$$どこ${\displaystyle \operatorname {diag} (M)}$は、行列Mの対角線から形成されるベクトルです。${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {1} }$これは、$${\displaystyle (A\odot B)\mathbf {1} =\operatorname {diag} (AB^{\mathsf {T}})}$$
• アダマール積はクロネッカー積の主小行列である。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}
• アダマール積はランク不等式を満たす$$\displaystyle \operatorname {rank} (A\odot B)\leq \operatorname {rank} (A)\operatorname {rank} (B).$$
• AとBが正定値行列である場合、アダマール積に関する次の不等式が成り立つ。^{[ 12 ]}$${\displaystyle \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(A\odot B)\geq \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(AB),\quad k=1,\ldots ,n,}$$ここで、λ _i ( A )はAのi番目に大きい固有値です。
• DとEが対角行列である場合、^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}D(A\odot B)E&=(DAE)\odot B=(DA)\odot (BE)\\&=(AE)\odot (DB)=A\odot (DBE).\end{aligned}}}$$
• 2つのベクトルのアダマール積${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$これは、一方のベクトルの対応する対角行列と他方のベクトルとの行列乗算と同じです。$${\displaystyle \mathbf {a} \odot \mathbf {b} =D_{\mathbf {a} }\mathbf {b} =D_{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$$
• の${\displaystyle \operatorname {diag} }$ベクトルを対角行列に変換する演算子は、アダマール積を用いて次のように表すことができる。$${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{T})\odot I,}$$どこ${\displaystyle \mathbf {1} }$は要素を持つ定数ベクトルです${\displaystyle 1}$、 そして${\displaystyle I}$は単位行列です。

アダマール積は、他の行列積演算子との間に一定の関係性を持つ。

• もし${\displaystyle \otimes }$ はクロネッカー積であり、${\displaystyle A}$寸法は同じです${\displaystyle C}$そして${\displaystyle B}$として${\displaystyle D}$、 それから$${\displaystyle (A\otimes B)\odot (C\otimes D)=(A\odot C)\otimes (B\odot D).}$$

• もし${\displaystyle \bullet }$が面分割積で ある場合、^{[ 14 ]}$${\displaystyle (A\bullet B)\odot (C\bullet D)=(A\odot C)\bullet (B\odot D).}$$

• もし${\displaystyle \ast }$ は列方向のカトリ・ラオ積であり、$${\displaystyle (A\bullet B)(C\ast D)=(AC)\odot (BD).}$$

2 つの正定値行列のアダマール積は正定値行列です。^{[ 3 ] [ 8 ]}これは、ロシアの数学者イサイ・シュールにちなんでシュール積定理として知られています。 ^{[ 7 ]} 2 つの正定値行列AとBについては、それらのアダマール積の行列式は、それぞれの行列式の積以上であることも知られています。 ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \det({A}\odot {B})\geq \det({A})\det({B})。}$$

他のアダマール演算も数学文献に見られる^{[ 15 ]} 、すなわちアダマール根とアダマールべき乗（分数指数のため実質的には同じもの）は、次のような行列に対して定義される。

のために $${\displaystyle {\begin{aligned}{B}&={A}^{\circ 2}\\B_{ij}&={A_{ij}}^{2}\end{aligned}}}$$

そして $${\displaystyle {\begin{aligned}{B}&={A}^{\circ {\frac {1}{2}}}\\B_{ij}&={A_{ij}}^{\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

のアダマール逆行列は次のようになります。 ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{B}&={A}^{\circ -1}\\B_{ij}&={A_{ij}}^{-1}\end{aligned}}}$$

Aアダマール分割は次のように定義されます。 ^{[ 16 ] [ 17 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{C}&={A}\oslash {B}\\C_{ij}&={\frac {A_{ij}}{B_{ij}}}\end{aligned}}}$$

ほとんどの科学計算や数値計算のプログラミング言語には、様々な名称でアダマール積が含まれています。

MATLABでは、アダマール積は「ドット乗算」としてa .* b、または関数呼び出しとして表現されますtimes(a, b)。^{[ 18 ]}また、例えば演算子a .^ bやなど、類似のドット演算子もありますa ./ b。^{[ 19 ]}*このメカニズムにより、と^をそれぞれ行列乗算と行列指数用に予約することが可能です。

プログラミング言語Julia はMATLAB と同様の構文を持ち、アダマール乗算はブロードキャスト乗算と呼ばれ、 で表されa .* b、他の演算子も同様に要素ごとに定義され、たとえばアダマールべき乗は を使用しますa .^ b。^{[ 20 ]}しかし、MATLAB とは異なり、Julia ではこの「ドット」構文は、任意の関数を要素ごとに適用できる汎用ブロードキャスト演算子.で一般化されています。これには、二項演算子 (前述の乗算やべき乗、クロネッカー積などの他の二項演算子) と、!やなどの単項演算子の両方が含まれます。したがって、前置記法√の任意の関数はとして適用できます。^{[ 21 ]}ff.(x)

Python には組み込みの配列サポートがないため、表記が不整合または矛盾します。NumPy数値ライブラリは、またはをアダマール積として解釈し、またはを行列積に使用します。SymPy記号ライブラリでは、配列オブジェクトをまたはのいずれかとして乗算すると、行列積が生成されます。アダマール積は、メソッド呼び出しで取得できます。^{[ 22 ]}一部の Python パッケージには、などのメソッド、またはPandasメソッドを使用してアダマールべき乗をサポートする機能が含まれています。a*ba.multiply(b)a@ba.matmul(b)a*ba@ba.multiply_elementwise(b)np.power(a, b)a.pow(b)

C++では、EigenライブラリはMatrixcwiseProductクラスのメンバ関数（ ）を提供しますが、Armadilloライブラリは演算子を使用して簡潔な式を作成します（;は行列積です）。a.cwiseProduct(b)%a % ba * b

GAUSSやHP Primeでは、この演算は配列乗算と呼ばれています。

Fortran、R、APL、J、およびWolfram Language（Mathematica ）では、乗算演算子*またははアダマール積を×適用しますが、行列積はそれぞれ、、、、、を使用して記述さmatmulれ%*%ます。+.×+/ .*.

Mapleプログラミング言語では、行列とベクトルに対する乗算演算子は*定義されていません。行列積は で記述され.、アダマール積は で取得できます*~。（ はJuliaの~と同様の「ブロードキャスト演算子」です.。）

R パッケージmatrixcalc は、数値行列またはベクトルのアダマール積を計算する関数を導入していますhadamard.prod()。^{[ 23 ]}

コンピュータ代数システムMaximaは.、行列乗算と*アダマール積の計算にこのシステムを使用しています。

アダマール積は、JPEGなどの非可逆圧縮アルゴリズムに用いられます。復号化のステップでは、エントリごとの積、つまりアダマール積が計算されます。

画像処理において、アダマール演算子は、画像領域の強調、抑制、またはマスキングに使用できます。一方の行列は元の画像を表し、もう一方の行列は重み行列またはマスキング行列として機能します。

例えば、機械学習の文献では、リカレントニューラルネットワークのアーキテクチャをGRUやLSTMとして記述するために使用されています。^{[ 24 ]}

また、ランダムベクトルや行列の統計的性質を研究するためにも使用されます。^{[ 25 ] [ 26 ]}

V. Slyusarの定義によれば、p × g行列の貫通面積は${\displaystyle {A}}$およびn次元行列${\displaystyle {B}}$( n > 1) p × gブロック (${\displaystyle {B}=[B_{n}]}$）はサイズの行列です${\displaystyle {B}}$形式: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle {A}[\circ ]{B}=\left[{\begin{array}{c | c | c | c }{A}\circ {B}_{1}&{A}\circ {B}_{2}&\cdots &{A}\circ {B}_{n}\end{array}}\right].}$$

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