箱の中の粒子

量子力学では、箱の中の粒子モデル（無限ポテンシャル井戸または無限正方形井戸とも呼ばれる）は、侵入不可能な障壁に囲まれた小さな空間における自由粒子の動きを記述します。このモデルは主に、古典システムと量子システムの違いを説明するための仮説的な例として使用されます。たとえば、古典システムでは、大きな箱の中に閉じ込められた粒子は、箱の中で任意の速度で移動でき、ある位置で他の位置よりも多く見つかることはありません。ただし、井戸が非常に狭くなると（数ナノメートルのスケール）、量子効果が重要になります。粒子は特定の正のエネルギーレベルのみを占める可能性があります。同様に、粒子はエネルギーがゼロになることはなく、つまり粒子が「静止」することはできません。さらに、エネルギーレベルに応じて、特定の位置で他の位置よりも多く見つかる可能性があります。粒子は、空間ノードと呼ばれる特定の位置では決して検出されない場合があります。

箱の中の粒子モデルは、近似なしに解析的に解くことができる量子力学における数少ない問題の 1 つです。このモデルは単純であるため、複雑な数学を必要とせずに量子効果を理解できます。このモデルは、原子や分子などのより複雑な量子システムで見られるエネルギーの量子化(エネルギー レベル) がどのように発生するかを簡単に説明しています。これは、学部の物理学のコースで最初に教えられる量子力学の問題の 1 つであり、より複雑な量子システムの近似としてよく使用されます。

箱の中の粒子モデルの最も単純な形式では、1 次元システムを検討します。ここでは、粒子は、両端に侵入不可能な障壁がある直線に沿って前後にのみ移動できます。^[1] 1 次元の箱の壁は、無限に大きな位置エネルギーを持つ空間領域と見なすことができます。逆に、箱の内部は一定のゼロの位置エネルギーを持ちます。^[2] これは、箱の中の粒子に力が作用せず、その領域内を自由に移動できることを意味します。ただし、無限に大きな力は、粒子が箱の壁に触れると粒子をはじき、逃げるのを防ぎます。このモデルの位置エネルギーは次のように表されます 。 ここで、Lは箱の長さ、x _{c は}箱の中心の位置、x は箱内の粒子の位置です。単純なケースには、中心にある箱 ( x _c = 0) とシフトした箱 ( x _c = L /2) (図を参照) があります。 $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}}x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},}$$

量子力学では、波動関数は粒子の挙動の最も基本的な記述を与える。粒子の測定可能な特性（位置、運動量、エネルギーなど）はすべて波動関数から導くことができる。^[3] 波動関数は 、が縮小プランク定数、が粒子の質量、が虚数単位、が時間である系の シュレーディンガー方程式を解くことで求められる。 ${\displaystyle \psi (x,t)}$$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),}$$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t}$

箱の中では粒子に力が作用しないため、箱の中の波動関数の部分は自由粒子と同じ形で空間と時間を通じて振動する：^{[1] [4]}

ここで、 と は任意の複素数です。空間と時間における振動の周波数は、それぞれ波数と角周波数で与えられます。これらは両方とも、次の式によって粒子の全エネルギーと関連しています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},}$$これは自由粒子の分散関係 として知られています。 ^[1]しかし、粒子は完全に自由ではなく、ポテンシャルの影響下にあるため、粒子のエネルギーは、 Tが運動エネルギー、V が 位置エネルギーです。したがって、上で与えられた粒子のエネルギーは、と同じものではありません(つまり、粒子の運動量は で与えられません)。したがって、上記の波数kは、実際には粒子のエネルギー状態を表し、通常の「波数」のように運動量とは関係ありません。k を波数と呼ぶ理由は、それが波動関数がボックス内に持つ山の数を列挙し、この意味では波数であるためです。この矛盾は、粒子のエネルギー スペクトルが離散的 (エネルギーの離散値のみが許可されます) であるのに対し、運動量スペクトルは連続的 (運動量は連続的に変化できます) であることがわかると、以下でより明確にわかります。$${\displaystyle E=T+V,}$$${\displaystyle E=p^{2}/2m}$${\displaystyle p=\hbar k}$${\displaystyle E\neq p^{2}/2m}$

与えられた位置での波動関数の振幅は、そこに粒子が見つかる確率と関係している。したがって、波動関数は、箱の端を越えてどこでも消えなければならない。^{[1] [4]} また、波動関数の振幅は、ある点から次の点に突然「ジャンプ」してはならない。^[1] これらの 2 つの条件は、形式^[5]の波動関数によってのみ満たされる。 ここで 、 正の整数に対して となる。最も単純な解、または両方は、システムのどこにも存在しない粒子を記述する自明な波動関数 を生成する。 ^[6] ここで、粒子に対しては離散的なエネルギー値と波数kのセットのみが許されることがわかる。通常、量子力学では、波動関数自体に加えて、波動関数の導関数も連続であることが要求される。ここで、この要求は、定数ゼロ関数が唯一の解につながるが、これは私たちが望んでいるものではないため、この要求を放棄する (無限の可能性を持つこのシステムは、非物理的な抽象的限界ケースと見なすことができるため、そのように扱い、「ルールを曲げる」ことができる)。この要求を放棄するということは、波動関数がボックスの境界で微分可能な関数ではないことを意味し、したがって、波動関数は境界点ではシュレーディンガー方程式を解かない（しかし、他のすべての点では解く） と言えることに注意してください。${\displaystyle P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}},}$$$${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}},}$$$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{n}={\frac {k_{n}^{2}\hbar ^{2}}{2m}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}},}$$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$${\displaystyle k_{n}=0}$${\displaystyle A=0}$${\displaystyle \psi (x)=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$

最後に、波動関数を正規化することで未知の定数を見つけることができます。つまり、 絶対値がで ある任意 の複素数は、 同じ正規化された状態を生成することがわかります。 ${\displaystyle A}$$${\displaystyle \int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1,}$$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}},}$$

固有値、つまり箱のエネルギーは、空間内の位置に関わらず同じであるはずですが、変化します。 は波動関数の位相シフトを表していることに注意してください。 この位相シフトはシュレーディンガー方程式を解くときには影響を及ぼさないため、固有値には影響しません。 ${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle \psi _{n}(x,t)}$${\displaystyle x_{c}-{\tfrac {L}{2}}}$

座標の原点をボックスの中心に設定すると、波動関数の空間部分を次のように簡潔に書き直すことができます。 $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

運動量波動関数は、位置波動関数のフーリエ変換に比例します。（以下の運動量波動関数を表すパラメータk は、エネルギー固有値にリンクされた上記の特別なk _nとまったく同じではないことに注意してください）運動量波動関数は次のように定義されます。 ここで、 sinc は基数正弦sinc 関数、sinc( x ) = sin( x )/ xです。中心ボックス（x _c = 0 ）の場合、解は実数で、右側の位相係数が 1 に減少するため、特に単純です。（注意すれば、 pの偶関数として記述できます。） ${\displaystyle k=p/\hbar }$$${\displaystyle \phi _{n}(p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},}$$

この波束の運動量スペクトルは連続的であることがわかり、波数k _nによって記述されるエネルギー状態については、運動量を測定すると、それを超える他の値も得られると結論付けることができます。 ${\displaystyle p=\pm \hbar k_{n}}$

したがって、エネルギーはn番目の固有状態に対するものであるため、関係は測定された運動量pに対して厳密には成立しないことも明らかです。エネルギー固有状態は運動量固有状態ではなく、実際には、上記の式 ( 1 )から想像したくなるかもしれませんが、2 つの運動量固有状態の重ね合わせでさえありません。奇妙なことに、測定前には明確に定義された運動量がありません。 ${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$${\displaystyle \psi _{n}}$

古典物理学では、粒子は箱の中のどこにあっても等確率で検出される。しかし、量子力学では、与えられた位置で粒子が見つかる確率密度は波動関数から次のように導かれる。 箱の中の粒子の場合、与えられた位置で粒子が見つかる確率密度はその状態に依存し、次のように与えられる。 ${\displaystyle P(x)=|\psi (x)|^{2}.}$$${\displaystyle P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

したがって、 nの値が1より大きい場合、ボックス内には となる領域があり、粒子が見つからない空間ノードが存在することを示しています。ただし、相対論的波動方程式を考慮すると、確率密度はノードでゼロになりません（ という自明なケースを除く）。^[7]${\displaystyle P(x)=0}$${\displaystyle n=0}$

量子力学では、粒子の位置の 平均または期待値は次のように表される。$${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.}$$

箱の中にある定常状態の粒子の場合、粒子の状態に関係なく、平均位置は常に であることが示されます。状態の重ね合わせの場合、位置の期待値は交差項に基づいて変化し、交差項は に比例します。 ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{c}}$${\displaystyle \cos(\omega t)}$

位置の分散は粒子の位置の不確実性の尺度です。 $${\displaystyle \mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$

与えられた運動量を持つ粒子を見つける確率密度は、波動関数から として導かれます。位置と同様に、与えられた運動量を持つ粒子を見つける確率密度はその状態に依存し、 によって与えられます 。 ここでも です。運動量の期待値は 0 と計算され、運動量の分散は次のように計算されます。 ${\displaystyle P(x)=|\phi (x)|^{2}}$$${\displaystyle P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)}$$${\displaystyle k=p/\hbar }$$${\displaystyle \mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}$$

位置と運動量（および）の不確実性は、それぞれの分散の平方根に等しいと定義されるので、次のようになります。 ${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta p}$$${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$$

この積はn の増加とともに増加し、 n = 1のときに最小値を持ちます。n = 1 の場合のこの積の値はおよそ 0.568 に等しく、これはハイゼンベルクの不確定性原理に従っており、積は 以上になるとしています。 ${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \hbar /2}$

位置の不確実性のもう一つの尺度は確率分布H _xの情報エントロピーである: ^[8] ここでx ₀は任意の基準長さである。 $${\displaystyle H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)}$$

運動量における不確実性のもう一つの尺度は、確率分布H _pの情報エントロピーである。 ここでγはオイラー定数である。量子力学のエントロピー不確定性原理は、 ( nats ) に対して$${\displaystyle H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\right)}$$${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$ $${\displaystyle H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2.14473...}$$

の場合、位置エントロピーと運動量エントロピーの合計は次式になります。 ここで単位はnatであり、これは量子エントロピーの不確定性原理を満たします。 ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$$${\displaystyle H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\right)\approx 3.06974...}$$

許容される各波数に対応するエネルギーは、次のように記述できます。 ^[9] エネルギー レベルは とともに増加します。つまり、高エネルギー レベル同士の間隔は、低エネルギー レベル同士の間隔よりも大きくなります。 粒子の最低エネルギー (ゼロ点エネルギー) は状態 1 で見つかり、次のように与えられます。^[10] したがって、粒子は常に正のエネルギーを持ちます。 これは、粒子が動かずにゼロエネルギーになることがある古典的なシステムとは対照的です。 これは、不確定性原理の観点から説明できます。不確定性原理では、粒子の位置と運動量の不確定性の積は によって制限されると 述べられています。 粒子の位置の不確定性は、箱の幅に比例することが示されます。^[11] したがって、運動量の不確定性は、箱の幅にほぼ反比例します。^[10] 粒子の運動エネルギーはで与えられるため、箱の中の粒子の最小運動エネルギーは質量と井戸幅の2乗に反比例し、上記の計算と定性的に一致する。^[10]$${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$${\displaystyle n^{2}}$ $${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$$${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$${\displaystyle E=p^{2}/(2m)}$

粒子が2次元の箱の中に閉じ込められている場合、粒子はそれぞれ長さ と で区切られた障壁の間を 方向と 方向に自由に移動できます。中心にある箱の場合、位置波動関数は箱の長さを含めて と書き表すことができます。1次元の箱の場合と同様のアプローチを使用すると、中心にある箱の波動関数とエネルギーはそれぞれ で与えられ、 2次元の波動ベクトルは で与えられること がわかります。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle L_{y}}$${\displaystyle \psi _{n}(x,t,L)}$$${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),}$$ $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},}$$$${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .}$$

3 次元ボックスの場合、解は 3 次元波数ベクトルが次のように与えられる場所です。 $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),}$$ $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},}$$$${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .}$$

一般にn次元の箱の場合、解は $${\displaystyle \psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})}$$

n次元の運動量波動関数も同様に次のように表すことができ、 n次元の中心ボックスの運動量波動関数は次のようになります。 ${\displaystyle \phi _{n}(x,t,L_{x})}$$${\displaystyle \phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})}$$

上記の解の興味深い特徴は、2 つ以上の長さが同じである場合 (例)、同じ総エネルギーに対応する波動関数が複数存在することです。たとえば、 の波動関数は、 の波動関数と同じエネルギーを持ちます。この状況は縮退と呼ばれ、ちょうど 2 つの縮退した波動関数が同じエネルギーを持つ場合、そのエネルギー レベルは二重に縮退していると言われます。縮退は、システムの対称性から生じます。上記のケースでは、2 つの長さが等しいため、システムは 90° 回転に関して対称です。 ${\displaystyle L_{x}=L_{y}}$${\displaystyle n_{x}=2,n_{y}=1}$${\displaystyle n_{x}=1,n_{y}=2}$

壁が任意の形状の箱の中の量子力学的粒子の波動関数は、壁で波動関数が消えるという境界条件に従うヘルムホルツ方程式で与えられます。これらのシステムは、対応する動的ビリヤード テーブルが積分不可能な 壁の形状に対する量子カオスの分野で研究されています。

箱の中の粒子モデルは数学的に単純であるため、2 つの高電位障壁の間の狭い低電位領域に粒子が閉じ込められる、より複雑な物理システムの近似解を求めるために使用されます。これらの量子井戸システムはオプトエレクトロニクスで特に重要であり、量子井戸レーザー、量子井戸赤外線光検出器、量子閉じ込めシュタルク効果変調器などのデバイスで使用されます。また、クローニッヒ-ペニー モデルの格子や自由電子近似による有限金属の モデル化にも使用されます。

共役ポリエン系は、箱の中の粒子を使ってモデル化することができる。^[12]電子の共役系は、ポリエンの一方の末端からもう一方の末端までの全結合距離に等しい長さを持つ1次元の箱としてモデル化することができる。この場合、各π結合の各電子対はそのエネルギーレベルに対応する。2つのエネルギーレベルn _fとn _iのエネルギー差は次のようになる。 $${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}}$$

基底状態のエネルギー n と最初の励起状態 n+1 の差は、システムを励起するために必要なエネルギーに対応します。このエネルギーには特定の波長があり、したがって光の色は次のように関連しています。 $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}}$$

この現象の一般的な例はβ-カロテンである。^[要出典] β-カロテン (C ₄₀ H ₅₆ ) ^{[13] は}、オレンジ色の共役ポリエンで、分子長は約 3.8 nm である（ただし、鎖長は約 2.4 nm に過ぎない）。^[14] β-カロテンは共役レベルが高いため、電子は分子の全長にわたって分散しており、箱に入った 1 次元の粒子としてモデル化できる。β-カロテンには 11 個の炭素- 炭素二重結合が共役している。^{[13]これらの二重結合のそれぞれには 2 個の π 電子が含まれるため、β-カロテンには 22 個の π 電子がある。エネルギー準位ごとに 2 個の電子があるため、β-カロテンはエネルギー準位}n =11の箱に入った粒子として扱うことができる。^{[14]したがって、}電子を次のエネルギーレベルに励起するために必要な最小エネルギーn = 12は次のように計算できます^[14]（電子の質量は9.109 × 10 ⁻³¹ kg ^[15]であることを思い出してください）。 $${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {(12^{2}-11^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}}$$

前述の波長とエネルギーの関係を使用し、プランク定数 hと光速 cの両方を思い出します。 $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}=0.00000084{\text{ m}}=840{\text{ nm}}}$$

これは、β-カロチンが主に赤外線スペクトルの光を吸収することを示しており、そのため人間の目には白く見えることになります。しかし、観測された波長は450 nmであり、^[16]箱の中の粒子はこのシステムの完全なモデルではないことを示しています。

箱の中の粒子モデルは量子井戸レーザーに適用できる。量子井戸レーザーは、1つの半導体「井戸」材料が異なる材料の2つの他の半導体層に挟まれたレーザーダイオードである。このサンドイッチの層は非常に薄いため（中間層の厚さは通常約100Å）、量子閉じ込め効果が観察される。^[17]量子効果を利用してより優れたレーザーダイオードを作れるという考えは、1970年代に始まった。量子井戸レーザーは、1976年にR.ディングルとCHヘンリーによって特許取得された。^[18]

具体的には、量子井戸の挙動は有限井戸モデル内の粒子によって表すことができます。2 つの境界条件を選択する必要があります。1 つ目は、波動関数が連続していることです。多くの場合、2 番目の境界条件は、波動関数の導関数が境界を越えて連続している必要があるように選択されますが、量子井戸の場合は、境界の両側で質量が異なります。代わりに、2 番目の境界条件は、実験と一致して、粒子フラックスを として保存するように選択されます。箱の中の有限井戸粒子の解は数値的に解かなければならず、その結果、量子井戸内では正弦関数、障壁内では指数関数的に減衰する関数となる波動関数が得られます。^[19]電子のエネルギー レベルのこの量子化により、量子井戸レーザーは従来の半導体レーザーよりも効率的に光を放射できます。 ${\displaystyle (1/m)d\phi /dz}$

量子ドットはサイズが小さいため、特定の半導体のバルク特性を示すのではなく、量子化されたエネルギー状態を示します。^[20]この効果は量子閉じ込めとして知られており、量子井戸レーザーなど、量子ドットのさまざまな応用につながっています。^[20]

プリンストン大学の研究者らは最近、米粒ほどの大きさしかない量子井戸レーザーを開発した。^[21]このレーザーは、2つの量子ドット（二重量子ドット）を通過する単一の電子によって駆動される。電子は、マイクロ波領域の光子を放出しながら、高エネルギー状態から低エネルギー状態へと移動する。これらの光子は鏡で反射して光線、つまりレーザーを作り出す。^[21]

量子井戸レーザーは、光と電子の相互作用に大きく依存しています。この関係は、ド・ブロイ波長や箱の中の粒子を含む量子力学理論の重要な要素です。二重量子ドットにより、科学者は電子の動きを完全に制御できるようになり、その結果、レーザービームが生成されます。^[21]

量子ドットは極めて小さな半導体（ナノメートルスケール）である。^[22]量子ドットは電子が「ドット」から逃げることができないという量子閉じ込め特性を示すため、箱の中の粒子の近似を使用することができる。 ^[23]量子ドットの挙動は、3次元の箱の中の粒子のエネルギー量子化方程式によって記述することができる。^[23]

量子ドットのエネルギーギャップは、その価電子帯と伝導帯の間のエネルギーギャップです。このエネルギーギャップは、バルク材料のギャップに、電子と正孔のエネルギーを与える箱の中の粒子から導かれるエネルギー方程式を加えたものに等しくなります。^[23]これは次の式で確認できます。ここで、とは電子と正孔の有効質量、はドットの半径、 はプランク定数です。^[23]${\displaystyle \Delta E(r)}$${\displaystyle E_{\text{gap}}}$${\displaystyle m_{e}^{*}}$${\displaystyle m_{h}^{*}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$ $${\displaystyle \Delta E(r)=E_{\text{gap}}+\left({\frac {h^{2}}{8r^{2}}}\right)\left({\frac {1}{m_{e}^{*}}}+{\frac {1}{m_{h}^{*}}}\right)}$$

したがって、量子ドットのエネルギーギャップは「箱の長さ」、つまり量子ドットの半径の2乗に反比例する。^[23]

エネルギーは波長に反比例するため、バンドギャップを操作することで特定の波長の光を吸収したり放出したりすることができる。^[22]量子ドットが小さいほどバンドギャップが大きくなり、吸収される波長は短くなる。^{[22] [24]}

異なる半導体材料を使用して異なるサイズの量子ドットを合成し、異なる波長の光を放射します。^[24]通常、可視領域で光を放射する材料が使用されることが多く、そのサイズは特定の色が放射されるように微調整されています。^[22]量子ドットの合成に使用される典型的な物質は、カドミウム（Cd）とセレン（Se）です。^{[22] [24]}たとえば、2ナノメートルのCdSe量子ドットの電子が励起後に緩和すると、青色光が放射されます。同様に、4ナノメートルのCdSe量子ドットでは赤色光が放射されます。^{[25] [22]}

量子ドットには、蛍光色素、トランジスタ、LED、太陽電池、光プローブによる医療用画像など、さまざまな機能があります。 ^{[22] [23]}

量子ドットの機能の一つはリンパ節マッピングへの応用であり、近赤外線（NIR）領域で光を放射する独自の能力により実現可能となっている。リンパ節マッピングにより、外科医は癌細胞が存在するかどうか、またその場所を追跡することができる。^[26]

量子ドットは、他の物質に比べて明るい光を発し、さまざまな波長で励起され、光に対する耐性が高いため、これらの機能に役立ちます。^{[26] [22]}

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• ブランスデン、BH; ジョアチェイン、CJ (2000)。量子力学（第2版）。エセックス：ピアソンエデュケーション。ISBN 978-0-582-35691-7。
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ウィキメディア・コモンズには、 1D 無限正方形井戸に関連するメディアがあります。

• 配置積分 (統計力学)、2008 年。この wiki サイトはダウンしています。2012 年 4 月 28 日の Web アーカイブにあるこの記事を参照してください。