指数関数的成長

指数関数的増加は、量が現在のサイズに正比例する速度で増加する場合に発生します。たとえば、量が現在の 3 倍になると、現在の 3 倍の速度で増加します。

より専門的な言葉で言えば、独立変数に関する量の瞬間的な変化率（つまり導関数）は、量自体に比例します。独立変数は多くの場合、時間です。関数として記述される場合、指数関数的に増加する量は時間の指数関数であり、つまり、時間を表す変数が指数です（ 2 次増加などの他の種類の増加とは対照的です）。指数関数的増加は、対数的増加の逆です。

常に増加する成長率の場合、必ずしも指数関数的成長の例とは限りません。たとえば、関数は常に増加する割合で成長しますが、指数関数的成長よりもはるかに遅くなります。たとえば、関数がサイズの 3 倍に成長する場合、サイズの 30% に成長する場合などです。指数関数的に成長する関数が現在のサイズの 3 倍の速度で成長すると、常に現在のサイズの 3 倍の速度で成長します。現在の 10 倍の大きさになると、10 倍の速度で成長します。 ${\textstyle f(x)=x^{3}}$${\textstyle x=1,}$${\textstyle x=10}$

比例定数が負の場合、量は時間の経過とともに減少し、代わりに指数関数的減少を起こしていると言われます。等間隔の離散定義域の場合、関数値が幾何級数を形成するため、幾何的増加または幾何的減少とも呼ばれます。

離散的な間隔（つまり、0、1、2、3、...の整数倍）で 時間tが進むにつれて、変数xが成長率rで指数関数的に増加する式は、

$${\displaystyle x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}}$$

ここで、x _{0 は}時刻 0におけるxの値です。細菌のコロニーの成長は、これを説明するためによく使用されます。1 つの細菌が 2 つに分裂し、それぞれが分裂して 4 つ、8 つ、16 つ、32 つと増えていきます。増加量は、増え続ける細菌の数に比例するため、増え続けます。このような成長は、ウイルス感染の拡大、複利による負債の増加、バイラル ビデオの拡散など、現実の活動や現象で観察されます。実際のケースでは、初期の指数関数的成長は永久に続くことはなく、最終的には外部要因による上限のために減速し、ロジスティック成長に変わることがよくあります。

「指数関数的成長」などの用語は、誤って「急速な成長」と解釈されることがあります。実際、指数関数的に成長するものは、最初はゆっくりと成長することもあります。^{[1] [2]}

• 培養中の微生物の数は、必須栄養素が枯渇するまで指数関数的に増加します。必須栄養素が枯渇すると、それ以上の微生物が成長するための栄養素がなくなります。通常、最初の微生物は2つの娘微生物に分裂し、それぞれが4つに分裂し、さらに8つに分裂し、というように続きます。指数関数的成長は一定の成長率を示すため、指数関数的に成長する細胞は定常状態にあるとよく考えられます。しかし、細胞は代謝と遺伝子発現を再構築しながら、一定の速度で指数関数的に成長することができます。^[3]
• ウイルス（COVID-19や天然痘など）は、人工的な予防接種が利用できない場合、通常は最初は指数関数的に広がります。感染者1人から複数の人に感染する可能性があります。

• 誘電体材料内のアバランシェ破壊。自由電子は外部から印加された電界によって十分に加速され、誘電体媒体の原子または分子と衝突して追加の電子を解放します。これらの二次電子も加速され、より多くの自由電子が生成されます。その結果、電子とイオンが指数関数的に増加し、材料の完全な誘電破壊が急速に起こる可能性があります。
• 核連鎖反応（原子炉と核兵器の背後にある概念）。核分裂を起こす各ウラン 原子核は複数の中性子を生成し、各中性子は隣接するウラン原子に吸収され、順に核分裂を引き起こす。中性子吸収の確率が中性子逃避の確率（ウランの形状と質量の関数）を超えると、中性子の生成率と誘導ウラン核分裂は制御不能な反応で指数関数的に増加する。「指数関数的な増加率のため、連鎖反応のどの時点でも、エネルギーの 99% は最後の 4.6 世代で放出される。最初の 53 世代を実際の爆発までの潜伏期間と考えるのは妥当な近似であり、実際の爆発には 3～4 世代しかかからない。」^[4]
• 電気増幅または電気音響増幅の線形範囲内での正のフィードバックにより、増幅された信号が指数関数的に増大する可能性がありますが、共鳴効果により、信号の一部の周波数成分が他の周波数成分よりも優先される場合があります。

• 経済成長はパーセンテージで表され、指数関数的な成長を意味します。

• 一定の利率での複利は資本の指数関数的な成長をもたらします。 ^[5] 72の法則も参照してください。
• ねずみ講やポンジ・スキームもこのタイプの成長を示し、少数の初期投資家に高い利益をもたらし、多数の投資家に損失をもたらします。

• コンピュータの処理能力。ムーアの法則と技術的特異点も参照してください。(指数関数的成長では特異点は存在しません。ここでの特異点は比喩であり、想像を絶する未来を伝えるためのものです。この仮説的概念と指数関数的成長との関連は、未来学者レイ・カーツワイルによって最も声高に主張されています。)
• 計算複雑性理論では、指数関数的な複雑性を持つコンピュータ アルゴリズムでは、問題のサイズが一定に増加するだけで、指数関数的に増加するリソース (時間、コンピュータ メモリなど) が必要になります。したがって、時間複雑度が2 ^xのアルゴリズムでは、サイズx = 10の問題が完了するまでに 10 秒かかり、サイズx = 11の問題が 20 秒かかる場合、サイズx = 12の問題には40 秒かかります。この種のアルゴリズムは、通常、問題のサイズが非常に小さい場合 (多くの場合、項目が 30 ～ 100 個) には使用できなくなります (ほとんどのコンピュータ アルゴリズムでは、数万または数百万項目に及ぶはるかに大きな問題を妥当な時間で解決する必要があり、これは指数アルゴリズムでは物理的に不可能です)。また、ムーアの法則の影響も状況の改善にはあまり役立ちません。プロセッサ速度を 2 倍にしても実行可能な問題のサイズが一定だけ増加するだけだからです。たとえば、低速プロセッサがサイズxの問題をt時間で解ける場合、2 倍高速なプロセッサは同じ時間tでサイズx + 定数の問題しか解けません。したがって、指数関数的に複雑なアルゴリズムはほとんどの場合非現実的であり、より効率的なアルゴリズムの探索は今日のコンピュータ サイエンスの中心的な目標の 1 つです。

• インターネットミームや動画などのインターネットコンテンツは指数関数的に広がる可能性があり、ウイルスの拡散に例えて「バイラルになる」と言われることが多い。 ^[6]ソーシャルネットワークなどのメディアでは、1人の人が同時に同じコンテンツを多くの人に転送し、その人がさらに多くの人に広めるなどして、急速な拡散を引き起こすことができる。^[7] たとえば、動画「江南スタイル」は2012年7月15日にYouTubeにアップロードされ、初日に数十万人、20日目には数百万人の視聴者を獲得し、2か月足らずで累計視聴回数は数億人に達した。^{[6] [8]}

量x が時間tに指数関数的に依存する場合、 定数aはxの初期値、定数bは正の成長係数、τは時間定数( x がbの 1 倍に増加するのに必要な時間)です。 $${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }}$$$${\displaystyle x(0)=a\,,}$$$${\displaystyle x(t+\tau )=a\cdot b^{(t+\tau )/\tau }=a\cdot b^{t/\tau }\cdot b^{\tau /\tau }=x(t)\cdot b\,.}$$

τ > 0かつb > 1の場合、x は指数関数的に増加します。τ < 0かつb > 1、またはτ > 0かつ0 < b < 1の場合、x は指数関数的に減少します。

例:細菌の種が 1 個だけから始まり、10 分ごとに 2 倍になるとすると、1 時間後には細菌はいくつ存在するでしょうか。 この質問は、a = 1、b = 2、τ = 10 分を意味します。

$${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}}$$ $${\displaystyle x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.}$$

1 時間後、つまり 10 分間隔を 6 回繰り返すと、細菌は 64 個になります。

無次元の非負数bと時間量τ (単位数と時間単位の積として表される物理量)の多数のペア( b、τ )は同じ成長率を表し、 τはlog bに比例します。 1 に等しくない任意の固定b (たとえばeまたは 2) の場合、成長率は非ゼロ時間τによって与えられます。任意の非ゼロ時間τの場合、成長率は無次元の正数 bによって与えられます。

したがって、指数関数的増加の法則は、異なる基数を使用することで、異なるが数学的に同等の形式で記述できます。最も一般的な形式は次のとおりです。 ここで、x _{0 は}初期量x (0)を表します。 $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},}$$

パラメータ（指数関数的減少の場合は負）：

• 成長定数 k は、係数eで成長する頻度(単位時間あたりの回数)です。金融の世界では、対数収益、連続複利収益、または利子の力とも呼ばれます。
• e倍の時間 τ は、係数eだけ増加するのにかかる時間です。
• 倍加時間 T は、倍増するのにかかる時間です。
• 期間pにおける増加率r (無次元数) 。

量k、τ、T 、および与えられたpに対するr は、次の式で与えられる 1 対 1 の関係を持ちます (この式は上記の式の自然対数を取ることで導出できます)。 ここで、 k = 0 はr = 0に対応し、τとTは無限大です。 $${\displaystyle k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}}$$

p が時間の単位である場合、商t / p は単に時間の単位数です。時間そのものではなく、時間の単位数 (無次元) を表す表記t を使用すると、 t / p はtに置き換えることができますが、ここでは統一性を保つためにこれを避けています。この場合、最後の式のpによる除算も数値除算ではありませんが、無次元数を単位を含む正しい量に変換します。

成長率から倍加時間を計算する一般的な近似方法は、70 の法則、つまり です。 ${\displaystyle T\simeq 70/r}$

指数関数的増加 (太線) と減少 (細線) の倍加時間と半減期、およびそれらの 70/ tと 72/ t の近似値を比較したグラフ。SVG バージョンでは、グラフの上にマウス カーソルを置くと、そのグラフとその補数が強調表示されます。

変数xがに従って指数関数的に増加する場合、 xの対数 (任意の底に対して) は時間の経過とともに線形に増加します。これは、指数関数的増加方程式の両辺の 対数を取ることでわかります。${\displaystyle x(t)=x_{0}(1+r)^{t}}$ $${\displaystyle \log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).}$$

これにより、指数関数的に増加する変数を対数線形モデルでモデル化できます。たとえば、xの異時点間データから成長率を経験的に推定したい場合は、log x をtに線形回帰する ことができます。

指数関数は、 次の線型微分方程式を満たします。 つまり、時刻tにおけるx の瞬間ごとの変化はx ( t )の値に比例し、x ( t ) は初期値を持ちます。 ${\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}}$$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=kx}$$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$

微分方程式は直接積分によって解かれる 。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}.}$$

上記の微分方程式において、k < 0の場合、量は指数関数的に減少します。

この成長モデルの非線形変形については、ロジスティック関数を参照してください。

長期的には、あらゆる種類の指数関数的成長はあらゆる種類の線形成長（これがマルサスの大惨事の根拠である）やあらゆる多項式成長を追い越すことになる。つまり、すべてのαに対して次のようになる。 $${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.}$$

指数関数よりも遅く、線形よりも速い（長期的には）考えられる成長率の階層全体があります。多項式の次数 § 関数値から計算されるを参照してください。

成長率は指数関数よりも速い場合もあります。最も極端な場合、成長が有限時間内に限りなく増加する場合、それは双曲的成長と呼ばれます。指数関数的成長と双曲的成長の間には、テトレーションから始まるハイパーオペレーションや、アッカーマン関数の対角線など、より多くの種類の成長動作が存在します。 ${\displaystyle A(n,n)}$

現実には、初期の指数関数的成長は永久に続くことはあまりありません。一定期間が経過すると、外部要因や環境要因によって成長が鈍化します。たとえば、人口増加は資源の制限により上限に達することがあります。^[9] 1845年、ベルギーの数学者ピエール・フランソワ・ヴェルフルストは、このような成長の数学的モデルを初めて提案し、「ロジスティック成長」と名付けました。^[10]

物理現象の指数関数的成長モデルは、無制限の成長は物理的に現実的ではないため、限られた領域内でのみ適用されます。成長は最初は指数関数的かもしれませんが、モデル化された現象は最終的に、これまで無視されていた負のフィードバック要因が重要になる領域（ロジスティック成長モデルにつながる）に入るか、連続性や瞬間的なフィードバックなど、指数関数的成長モデルのその他の基本的仮定が崩れます。

研究によると、人間は指数関数的成長を理解するのが難しいことが分かっています。指数関数的成長バイアスとは、複利成長プロセスを過小評価する傾向のことです。このバイアスは財務的な影響も及ぼす可能性があります。^[11]

伝説によると、宰相シッサ・ベン・ダヒルがインドの王シャリムに美しい手作りのチェス盤を贈った。王は贈り物のお返しに何が欲しいかと尋ねると、廷臣は最初のマス目に米を1粒、2番目に2粒、3番目に4粒などと要求して王を驚かせた。王はすぐに同意し、米を持ってくるように頼んだ。最初はすべてうまくいったが、n番目のマス目に2 ^{n −1}粒という要件は、21番目のマス目に百万粒以上、41番目には百万億（つまり兆）以上を必要とし、最後のマス目には全世界の米が足りなかった。（Swirski、2006年より）^[12]

「チェス盤の後半」とは、指数関数的に増大する影響力が組織の全体的なビジネス戦略に大きな経済的影響を与えている時期を指します。

フランスの子供たちに、指数関数的成長の一側面である「指数関数的に増加する量が一定の限界に近づく際の見かけ上の突然性」を題材にした謎かけが出される。この謎かけは、池で育つスイレンの植物を想像したものである。この植物は毎日2倍の大きさになり、放っておくと30日で池を覆い尽くし、水中の他の生物を全て死滅させてしまう。日を追うごとに植物の成長は小さいので、池の半分を覆うまでは問題ないと判断される。その日はいつになるだろうか。29日目で、池を救うにはあと1日しかない。^{[13] [12]}

• メドウズ、ドネラ。ランダース、ヨルゲン。メドウズ、デニス。 成長の限界：30年間の最新情報。チェルシー グリーン パブリッシング、2004年。ISBN 9781603581554 
• メドウズ、ドネラ H.、デニス L. メドウズ、ヨルゲン ランダース、ウィリアム W. ベーレンス III. (1972) 『成長の限界』 ニューヨーク: ユニバーシティ ブックスISBN 0-87663-165-0 
• ポリット、J.世界が重要であるかのように資本主義、アーススキャン 2005年。ISBN 1-84407-192-8 
• スワースキー、ピーター。文学と知識：物語的思考実験、進化、ゲーム理論の探究。ニューヨーク：ラウトレッジ。ISBN 0-415-42060-1 
• トムソン、デビッド G. 『10億人への青写真: 指数関数的成長を達成するための7つの基本事項』、Wiley 2005年12月、ISBN 0-471-74747-5 
• Tsirel, SV 2004. 地球人口の超指数関数的増加の考えられる理由について。社会経済ダイナミクスの数理モデル/ MG Dmitriev および AP Petrov 編、pp. 367–9。モスクワ：ロシア国立社会大学、2004 年。

• 有限世界における成長 - 持続可能性と指数関数 - プレゼンテーション
• アルバートレット博士: 算数、人口、エネルギー — ストリーミングビデオとオーディオ 58 分