区別できない粒子

量子力学では、区別不能粒子（同一粒子または識別不能粒子とも呼ばれる）は、原理的にも互いに区別できない粒子である。同一粒子の種類には、素粒子（電子など）、複合亜原子粒子（原子核など）、原子、分子などが含まれるが、これらに限定されない。準粒子も同じように振る舞う。既知の区別不能粒子はすべて量子スケールでのみ存在するが、量子統計で探求されているように、すべての可能な種類の粒子を網羅したリストや明確な適用限界は存在しない。それらは、1926年にヴェルナー・ハイゼンベルクとポール・ディラックによって初めて議論された。^[1]

同一粒子には、量子状態を共有できるボソンと、量子状態を共有できないフェルミオン（パウリの排他原理で説明）の 2 つの主なカテゴリがあります。ボソンの例には、光子、グルーオン、フォノン、ヘリウム 4原子核、およびすべての中間子があります。フェルミオンの例には、電子、ニュートリノ、クォーク、陽子、中性子、およびヘリウム 3原子核があります。

粒子が同一である可能性があるという事実は、統計力学において重要な意味を持ちます。統計力学では、計算は確率論的議論に依存しており、これは研究対象が同一であるかどうかに左右されます。その結果、同一の粒子は、区別可能な粒子とは著しく異なる統計的挙動を示します。たとえば、粒子の区別不能性は、ギブスの混合パラドックスの解決策として提案されています。

粒子を区別する方法は 2 つあります。最初の方法は、質量、電荷、スピンなど、粒子の固有の物理的特性の違いを利用する方法です。違いがある場合は、関連する特性を測定することで粒子を区別することができます。ただし、判明している限りでは、同じ種の微細粒子は物理的特性が完全に同等です。^[要出典]たとえば、すべての電子は同じ電荷を持っています。

たとえ粒子が同等の物理的特性を持っていたとしても、粒子を区別する 2 番目の方法は、各粒子の軌道を追跡することです。各粒子の位置を無限の精度で測定できる限り (粒子が衝突した場合でも)、どの粒子がどれであるかは不明瞭になりません。

2 番目のアプローチの問題点は、量子力学の原理に反することです。量子論によれば、粒子は測定の合間には明確な位置を持ちません。代わりに、粒子は各位置で粒子が見つかる確率を与える波動関数によって支配されます。時間が経つにつれて、波動関数は広がり、重なり合う傾向があります。これが起こると、後続の測定で、どの粒子の位置が以前に測定されたものに対応するかを判断することは不可能になります。その場合、粒子は区別できないと言われます。

以下は、量子力学の数学的定式化に関する記事で開発された形式論を使用して、上記の議論を具体化する例です。

n は単一粒子の状態を指定するための（離散的な）量子数の完全な集合を表すものとする（例えば、箱の中の粒子の問題では、nを波動関数の量子化された波動ベクトルとする）。簡単にするために、相互作用しない 2 つの粒子からなるシステムを考える。1 つの粒子が状態n ₁にあり、もう 1 つの粒子が状態n ₂にあるとする。システムの量子状態は、次の式で表される。

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$

ここで、テンソル積の順序が重要です ( の場合、粒子 1 は状態n ₂を占め、粒子 2 は状態n _{1を占めます)。これは、個々の空間から結合システムの}テンソル積空間の基底を構築する標準的な方法です。この表現は、区別可能な粒子に対しては有効ですが、区別不可能な粒子に対しては適切ではありません。これは、粒子の交換の結果として、およびが一般に異なる状態になるためです。 ${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$${\displaystyle H\otimes H}$${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

• 「粒子 1 はn ₁状態を占め、粒子 2 はn ₂状態を占める」≠「粒子 1 はn ₂状態を占め、粒子 2 はn ₁状態を占める」。

2 つの状態が物理的に等価なのは、その差が最大でも複素位相係数である場合のみです。区別できない 2 つの粒子の場合、粒子交換前の状態は交換後の状態と物理的に等価でなければならないため、これら 2 つの状態は最大でも複素位相係数だけ異なります。この事実は、区別できない (相互作用しない) 2 つの粒子の状態が次の 2 つの可能性で与えられることを示唆しています。^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

和となる状態は対称的と呼ばれ、差となる状態は反対称的 と呼ばれます。より完全には、対称的状態は次の形式を持ちます。

${\displaystyle |n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

一方、反対称状態は次の形式をとる。

${\displaystyle |n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

n ₁とn ₂が同じ場合、反対称表現はゼロになりますが、これは正規化できないため状態ベクトルにはならないことに注意してください。言い換えると、複数の同一粒子が反対称状態を占めることはできません (1 つの反対称状態を占めることができるのは 1 つの粒子だけです)。これはパウリの排他原理として知られており、原子の化学的性質と物質の安定性の背後にある基本的な理由です。

対称状態と反対称状態の重要性は、最終的には経験的証拠に基づいています。同一の粒子が混合対称状態を占有しないのは自然の事実のようです。

${\displaystyle |n_{1},n_{2};?\rangle ={\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +i|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

この規則には実は例外があり、これについては後で説明します。一方、交換対称性として知られる複数粒子状態の特定の対称性を調べることによって、対称状態と反対称状態はある意味で特別であることが示されます。

交換演算子と呼ばれる線形演算子Pを定義します。2 つの状態ベクトルのテンソル積に作用すると、状態ベクトルの値が交換されます。

${\displaystyle P{\bigg (}|\psi \rangle |\phi \rangle {\bigg )}\equiv |\phi \rangle |\psi \rangle }$

P はエルミートかつユニタリです。ユニタリなので、対称演算子と見なすことができます。この対称性は、粒子（つまり、単一粒子ヒルベルト空間）に付けられたラベルの交換による対称性として記述できます。

明らかに、（恒等演算子）なので、Pの固有値は +1 と -1 です。対応する固有ベクトルは対称状態と反対称状態です。 ${\displaystyle P^{2}=1}$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};S\rangle =+|n_{1},n_{2};S\rangle }$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle }$

言い換えれば、対称状態と反対称状態は粒子ラベルの交換によって本質的に変化しません。つまり、ヒルベルト空間内のどこか別の場所に「回転」するのではなく、+1 または -1 の係数が掛けられるだけです。これは、粒子ラベルに物理的な意味がないことを示唆しており、前述の区別不能性に関する議論と一致しています。

P はエルミート行列であることを思い出してください。その結果、P はシステムの観測可能量とみなすことができ、原理的には、状態が対称か反対称かを調べるために測定を行うことができます。さらに、粒子の同値性は、ハミルトニアンは対称形式で記述できることを示しており、たとえば次のように なります。

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_{2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})}$

このようなハミルトニアンは交換関係を満たすことを示すことが可能である。

${\displaystyle \left[P,H\right]=0}$

ハイゼンベルク方程式によれば、これはPの値が運動定数であることを意味します。量子状態が最初は対称（反対称）であれば、システムが進化しても対称（反対称）のままになります。数学的には、これは状態ベクトルがPの 2 つの固有空間の 1 つに限定され、ヒルベルト空間全体にわたることは許可されないことを意味します。したがって、その固有空間はシステムの実際のヒルベルト空間として扱われてもよいでしょう。これがフォック空間の定義の背後にある考え方です。

対称性または反対称性の選択は、粒子の種類によって決まります。たとえば、光子またはヘリウム 4原子を記述する場合は常に対称状態を使用し、電子または陽子を記述する場合は反対称状態を使用する必要があります。

対称状態を示す粒子はボソンと呼ばれます。対称状態の性質は、多数の同一のボソンで構成されるシステムの統計的性質に重要な影響を及ぼします。これらの統計的性質はボーズ・アインシュタイン統計として説明されます。

反対称状態を示す粒子はフェルミオンと呼ばれます。反対称性によりパウリの排他原理が生じ、同一のフェルミオンが同じ量子状態を共有することが禁じられます。多数の同一のフェルミオンのシステムはフェルミ・ディラック統計によって記述されます。

準統計は数学的には可能ですが、自然界には例は存在しません。^[5]

特定の 2 次元システムでは、混合対称性が発生する可能性があります。これらのエキゾチックな粒子はエニオンと呼ばれ、分数統計に従います。エニオンの存在の実験的証拠は、 MOSFETの反転層を形成する 2 次元電子ガスで観察される現象である分数量子ホール効果にあります。別の種類の統計として、プレクトンと呼ばれる粒子に関連付けられた、編組統計があります。

スピン統計定理は、同一粒子の交換対称性をそのスピンと関連付けます。これは、ボソンは整数スピンを持ち、フェルミオンは半整数スピンを持つと述べています。エニオンは分数スピンを持ちます。

上記の議論は、 N個の粒子の場合に容易に一般化できます。量子数n ₁、n ₂、...、n _Nを持つN個の粒子があるとします。粒子がボソンである場合、それらは完全に対称な状態を占め、これは任意の2 つの粒子ラベル の交換に対して対称です。

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle ={\sqrt {\frac {\prod _{n}m_{n}!}{N!}}}\sum _{p}\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle }$

ここで、合計はN個の要素に作用する順列 pの下でのすべての異なる状態にわたって取られます。合計の左側の平方根は正規化定数です。量m _{n は、}単一粒子状態nのそれぞれがN粒子状態で現れる回数を表します。Σ n m n = N であることに_注意してください。

同様に、フェルミオンは完全に反対称な状態を占めます。

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatorname {sgn} (p)\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle \ }$

ここで、sgn( p ) は各順列の符号です(つまり、が偶数個の転置で構成されている場合は、奇数の場合は )。各単一粒子状態はフェルミオン状態では 1 回しか出現できないため、項がないことに注意してください。そうでない場合は、反対称性により合計が再びゼロになり、物理的に不可能な状態を表します。これは、多くの粒子に対する パウリの排他原理です。${\displaystyle +1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \Pi _{n}m_{n}}$

これらの状態は標準化されており、

${\displaystyle \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.}$

対称（反対称）状態にある N個のボソン（フェルミオン）の系があるとする。

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle }$

そして、別の離散的観測量mの集合に対して測定が行われます。一般的に、これはある粒子に対しては結果m _{1 、別の粒子に対しては結果}m ₂などをもたらします。粒子がボソン（フェルミオン）である場合、測定後の状態は対称（反対称）のままでなければなりません。つまり、

${\displaystyle |m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangle }$

m測定 で特定の結果が得られる確率は

${\displaystyle P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big |}\left\langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}}$

それは次のことが証明できる

${\displaystyle \sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N})=1}$

これにより、全体の確率が 1 であることが検証されます。各多粒子状態が複数回カウントされないようにするには、合計をm ₁、...、m _Nの順序付けられた値に制限する必要があります。

これまでの説明では、離散観測量のみを対象としてきました。位置 xなどの連続観測量に拡張することができます。

連続観測量の固有状態は、離散観測量の場合のように単一の値を表すのではなく、観測量の値の無限小範囲を表すことを思い出してください。たとえば、粒子が状態| ψ ⟩にある場合、ある位置xを囲む体積d ³ xの領域でその粒子が見つかる確率は

${\displaystyle |\langle x|\psi \rangle |^{2}\;d^{3}x}$

その結果、連続固有状態| x ⟩は1ではなく デルタ関数に正規化されます。

${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta ^{3}(x-x')}$

対称および反対称の多粒子状態は、以前と同じ方法で連続固有状態から構築できます。ただし、異なる正規化定数を使用するのが一般的です。

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle &={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \end{aligned}}}$

多体波動関数は次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\end{aligned}}}$

ここで単一粒子の波動関数は通常通り次のように定義される。

${\displaystyle \psi _{n}(x)\equiv \langle x|n\rangle }$

これらの波動関数の最も重要な特性は、座標変数の 2 つを交換すると、波動関数がプラスまたはマイナスの符号だけ変化するという点です。これは、波動関数の表現における対称性と反対称性の現れです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{aligned}}}$

多体波動関数には次のような意味がある。系が初期状態で量子数n ₁ , ..., n _{Nの状態にあり、位置測定が行われると、} x ₁ , x ₂ , ..., x _N付近の微小体積内に粒子が見つかる確率は

${\displaystyle N!\;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}\;d^{3N}\!x}$

N !の係数は、単一粒子の波動関数との類推により、

${\displaystyle \int \!\int \!\cdots \!\int \;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d^{3}\!x_{N}=1}$

各積分はxのすべての可能な値にわたって実行されるため、各多粒子状態は積分中にN ! 回出現します。言い換えると、各イベントに関連付けられた確率は、積分空間内のN ! 個の同等の点に均等に分散されます。通常は、制限された積分よりも制限されていない積分を使用する方が便利なので、これを反映するように正規化定数が選択されています。

最後に、反対称波動関数は行列の行列式として表すことができ、これはスレーター行列式として知られています。

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|}$

粒子のヒルベルト空間はテンソル積で与えられる。 の置換群は、この空間に作用して成分を置換する。定義により、区別できない粒子の観測量の期待値は、これらの置換の下で不変であるはずである。これは、すべてのおよびに対して${\displaystyle n}$${\textstyle \bigotimes _{n}H}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi \in H}$${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle (\sigma \Psi )^{t}a(\sigma \Psi )=\Psi ^{t}a\Psi ,}$

またはそれぞれ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle \sigma ^{t}a\sigma =a}$。

2つの状態は、その期待値がすべての観測量に対して一致する場合、同等である。 同一の粒子の観測量、つまり上記の式を満たす観測量に限定すると、次の状態（正規化後）は同等であることがわかる。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Psi \sim \sum _{\sigma \in S_{n}}\lambda _{\sigma }\sigma \Psi }$。

同値類は、の下での既約部分空間と全単射の関係にあります。 ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$${\displaystyle S_{n}}$

明らかな2つの既約部分空間は、1次元の対称/ボソン部分空間と反対称/フェルミオン部分空間です。しかし、既約部分空間にはもっと多くの種類があります。これらの他の既約部分空間に関連付けられた状態は、準統計状態と呼ばれます。^[6] ヤングの図表は、これらすべての既約部分空間を分類する方法を提供します。

粒子の区別不能性は、その統計的特性に重大な影響を及ぼします。これを説明するために、N個の区別可能な非相互作用粒子のシステムを考えてみましょう。ここでも、n _{j は}粒子jの状態 (つまり量子数) を表します。粒子が同じ物理的特性を持つ場合、n _jは同じ値の範囲になります。ε ( n ) は状態nにある粒子のエネルギーを表します。粒子は相互作用しないため、システムの全エネルギーは単一粒子のエネルギーの合計です。システムの 分配関数は

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}\exp \left\{-{\frac {1}{kT}}\left[\varepsilon (n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\right]\right\}}$

ここでkはボルツマン定数、Tは温度である。この式を因数分解すると、

${\displaystyle Z=\xi ^{N}}$

どこ

${\displaystyle \xi =\sum _{n}\exp \left[-{\frac {\varepsilon (n)}{kT}}\right].}$

粒子が同一である場合、この式は正しくありません。単一粒子状態 [ n ₁ , ..., n _N ] によって記述されるシステムの状態を考えてみましょう。 Zの式では、 nのすべての可能な順列が合計で 1 回発生しますが、これらの順列のそれぞれは同じ複数粒子状態を記述しています。したがって、状態の数が過剰にカウントされています。

状態が重なり合う可能性を無視すると（温度が高い場合には有効）、各状態がカウントされる回数はおよそN !となる。正しい分割関数は

${\displaystyle Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.}$

この「高温」近似では、フェルミオンとボソンを区別しないことに注意してください。

区別できる粒子と区別できない粒子の分配関数の矛盾は、量子力学の出現以前の19世紀にまで遡って知られていました。これはギブスのパラドックスと呼ばれる困難につながります。ギブスは、方程式Z = ξ ^Nにおいて、古典的な理想気体のエントロピーは

${\displaystyle S=Nk\ln \left(V\right)+Nf(T)}$

ここで、Vはガスの体積、fはTのみの関数です。この結果の問題は、Sが広がりを持たないことです。つまり、 NとVが 2 倍になっても、S はそれに応じて 2 倍になりません。このようなシステムは、熱力学の公理に従いません。

ギブスはまた、 Z = ξ ^N / N ! を使用すると結果が次のように変わること も示した。

${\displaystyle S=Nk\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nf(T)}$

これは完全に拡張可能です。しかし、この分配関数の補正の理由は、量子力学の発見まで不明でした。

ボソンとフェルミオンの統計的挙動には重要な違いがあり、それぞれボーズ・アインシュタイン統計とフェルミ・ディラック統計で説明されます。大まかに言えば、ボソンは同じ量子状態に凝集する傾向があり、それがレーザー、ボーズ・アインシュタイン凝縮、超流動などの現象の基礎となっています。一方、フェルミオンは量子状態の共有が禁じられており、フェルミガスなどのシステムを生み出します。これはパウリの排他原理として知られ、原子（フェルミオン）内の電子がすべて同じ最低エネルギー状態にあるのではなく、 殻内の多くの状態を次々に満たすため、化学の多くに関係しています。

フェルミオン、ボソン、および識別可能な粒子の統計的動作の違いは、2 つの粒子のシステムを使用して説明できます。粒子は A と B で示されます。各粒子は、同じエネルギーを持つとという 2 つの可能な状態に存在できます。 ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

複合システムは、ノイズの多い環境と相互作用しながら、時間の経過とともに進化します。と の状態はエネルギー的に等価であるため、どちらの状態も優先されず、このプロセスによって状態がランダム化されます。(これについては、量子もつれに関する記事で説明します。) しばらくすると、複合システムは、利用可能な各状態を占有する確率が等しくなります。次に、粒子の状態が測定されます。 ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

A と B が区別可能な粒子である場合、複合システムには、、、 の4 つの異なる状態があります。 2 つの粒子が 状態になる確率は 0.25、 2 つの粒子が 状態になる確率は0.25、1 つの粒子が 状態になり、もう 1 つの粒子が 状態になる確率は0.5 です。 ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle |0\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

A と B が同一のボソンである場合、複合システムには 、 、 の 3 つの異なる状態しかありません。実験を実行すると、状態の粒子が 2 つ得られる確率は 0.33、 状態の粒子が 2 つ得られる確率は0.33、状態の粒子が 1 つ、 状態の粒子がもう 1 つ得られる確率は0.33 になります。同じ状態の粒子が見つかる確率は、区別可能な場合よりも比較的高いことに注意してください。これは、ボソンが「凝集」する傾向を示しています。 ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle +|1\rangle |0\rangle )}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

A と B が同一のフェルミオンである場合、複合システムで使用可能な状態は、完全に反対称な状態 1 つだけです。実験を実行すると、一方の粒子は常に 状態にあり、もう一方の粒子は 状態にあります。 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle -|1\rangle |0\rangle )}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

結果は表1にまとめられています。

ご覧のとおり、2 つの粒子のシステムであっても、区別できる粒子、ボソン、フェルミオンの間では異なる統計的動作を示します。フェルミ - ディラック統計とボーズ - アインシュタイン統計に関する記事では、これらの原理が多数の粒子に拡張され、質的に同様の結果が得られています。

粒子統計がそのように機能する理由を理解するには、まず、粒子は点に局在する励起であり、空間的に分離された粒子は相互作用しないことに注意してください。平坦なd次元空間Mでは、任意の時点で、2 つの同一粒子の構成をM × Mの要素として指定できます。粒子間に重なりがなく、直接相互作用しない場合は、それらの位置は、一致点が除去された部分空間である空間[ M × M ] \ {一致点}に属している必要があります。要素( x、y )は、粒子 I がxにあり、粒子 II がyにある構成を記述し、要素( y、x )は、入れ替わった構成を記述します。同一の粒子では、 ( x、y )によって記述される状態は、( y、x )によって記述される状態と区別できないはずです。ここで、空間[ M × M ] \ {一致点}内の( x , y )から( y , x )への連続パスのホモトピー類を考えます。Mが⁠ ⁠ (ここでd ≥ 3 ) の場合、このホモトピー類には要素が 1 つしかありません。Mが⁠ ⁠の場合、このホモトピー類には可算な数の要素 (つまり、半回転による反時計回りの交換、1.5回転、2.5回転などによる反時計回りの交換、半回転による時計回りの交換など) があります。特に、半回転による反時計回りの交換は、半回転による時計回りの交換と同型ではありません。最後に、Mが⁠ ⁠の場合、このホモトピー類は空です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

まずd ≥ 3と仮定します。[ M × M ] ∖ {一致点}の普遍被覆空間は[ M × M ] ∖ {一致点}自体に他なりませんが、( x , y )と物理的に区別できない点は( x , y )自体と( y , x )の 2 つだけです。したがって、許容される唯一の交換は、両方の粒子を交換することです。この交換は反転であるため、その唯一の効果は位相に 1 の平方根を掛けることです。根が +1 の場合、点はボーズ統計を持ち、根が –1 の場合、点はフェルミ統計を持ちます。

この場合、[ M × M ] ∖ {一致点}の普遍被覆空間には、 ( x、y )と物理的に区別できない点が無限に存在します。これは、反時計回りに半回転の交換を行うことで生成される無限巡回群によって記述されます。前の場合とは異なり、この交換を 2 回続けて実行しても元の状態には戻りません。そのため、このような交換は、一般に、任意の実数θに対してexp( iθ )による乗算をもたらします(ユニタリー性により、乗算の絶対値は 1 でなければなりません)。これは、エニオン統計と呼ばれます。実際、2 つの区別可能な粒子がある場合でも、( x、y )が( y、x )と物理的に区別できるようになったとしても、普遍被覆空間には、反時計回りに 1 回転することで生成された元の点と物理的に区別できない点が無限に存在します。この生成子は、exp( iφ )による乗算をもたらします。ここでのこの位相係数は相互統計と呼ばれます。 ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2},}$

最後に、空間[ M × M ] ∖ {一致点}が接続されていない場合、粒子 I と粒子 II が同一であっても、「左側の粒子」と「右側の粒子」などのラベルによって区別できます。ここでは交換対称性はありません。 ${\displaystyle M=\mathbb {R} ,}$

• 準集合論
• ドブロイ仮説

• タッカーマン、マーク（2010）、統計力学、OUPオックスフォード、ISBN 978-0198525264

• ファインマン物理学講義 第3巻 第4章 同一粒子
• 同一かつおそらく区別できない粒子の交換 ジョン・S・デンカー著
• 量子論におけるアイデンティティと個性（スタンフォード哲学百科事典）
• E. Pavarini、E. Koch、U. Schollwöck の「多電子状態: 相関物質における創発現象」(Jülich 2013、ISBN 978-3-89336-884-6)